Dowód tożsamości Paral: Dla n, k, i ∊ N mamy

n + 2k − i 2k		i j		n + 2k − j n
	= ∑ij=0 (−1)j *		*		.

Próbowałem zastosować indukcję matematyczną względem i. Dla dowolnych n, k oraz i = 1 nie ma problemu. Ale w kolejnym kroku próbując udowodnić dla i + 1 nie wiem co zrobić. Starałem się rozpisać lewą stronę i blokuje się na samym początku

n + 2k − i + 1 2k		n + 2k − i 2k − i		n + 2k − i 2k		n + 2k − i 2k − i
	=		+		=		+

	i j		n + 2k − j n
∑ij=0 (−1)j *		*		,

dalej pustka. Ktoś ma pomysł? Albo inną metodę? Z góry dziękuję.

jc:

	i j
(1−x)i = ∑i		(−1)j xj

	k+m−1 m−1
1/(1−x)m = ∑k		xk

1/(1−x)^m−i =(1−x)ⁱ / (1−x)^m Porównuję współczynnik przy x^r

r+m−1 m−1		i j		r−j+m−i−1 m−i−1
	= ∑j		(−1)j

m−1=2k, r = n−i

n−i+2k 2k		i j		n−j+2k−2i 2k−i
	=∑j		(−1)j

Nie wyszło, ale może potrzeba więcej staranności.

jc: i<m (1−x)^i−m=(1−x)ⁱ )(1−x)^−m Współczynnik przy x^r

r+m−i−1 m−i−1		i j		r−j + m−1 m−1
	= ∑j		(−1)j

r=n−i, m=2k+i+1

n+2k−i 2k		i j		n + 2k−j 2k+i
	= ∑j		(−1)j

Ciągle nie to ... A może to ma coś z zasadą włączania−wyłączania?

Paral: https://www.mimuw.edu.pl/~guzicki/materialy/Dowody_Kombinatoryczne.pdf Dotarłem do operatora różnicowego (str. 38), następnie przykład 6 (str. 44). Jednak postaram się jeszcze pomyśleć czy jest szansa na rozwiązanie bezpośrednie, że tak to nazwę.

jc: Wzór

	i j
Δi f(a) = ∑j		(−1)j f(a+i−j)

	a n		a n−i
f(a)=		, Δi f(a)=

a n−i		i j		a+i−j n
	= ∑j		(−1)j

podstawiamy a=n+2k−i

n+2k−i n−i		i j		n+2k−j n
	=∑j		(−1)j

n+2k−i n−i		n+2k−i 2k
	=

n+2k−i 2k		i j		n+2k−j n
	=∑j		(−1)j