Louie314: a+b=4 ⇒ b=4−a
Z twierdzenia cosinusów (c to trzeci bok):
c
2=a
2+b
2−2abcos(120)
c
2=a
2+b
2+ab
c=
√a2+b2+ab
Zatem:
Obw.=a+b+
√a2+b2+ab=4+
√a2+b2+ab
Chcemy, aby obwód był jak najmniejszy, będzie tak, gdy wartość wyrażenia a
2+b
2+ab będzie
najmniejsza. Podstawiamy za b:
a
2+b
2+ab=a
2+a(4−a)+(4−a)
2=a
2+4a−a
2+16−8a+a
2=a
2−4a+16
Jest to funkcja kwadratowa, więc łatwo obliczymy dla jakiego a przyjmuje ekstremum:
Zatem dla a=2 obwód jest najmniejszy. Wówczas b=a=2, a długość trzeciego boku jest równa:
c=
√a2+b2+ab=
√4+4+4=
√12=2
√3