udowodnij nierówność silly goose: Wykaz, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność: x²+2x²y²+y² ≥ 2(x²y+xy²)

problem: Wszystko na lewą stronę: x²+2x²y²+y² − 2x²y − 2xy² = x²+x²y² − 2x²y + x²y² + y² − 2xy² = x²(1 + y² − 2y) + y²(x² + 1 − 2x) = x²(y − 1)² + y²(x − 1)² = (x(y − 1))² + (y(x − 1))² Suma kwadratów zawsze ≥ 0 I chyba tyle

Louie314: x²+2x²y²+y²≥2(x²y+xy²) x²+2x²y²+y²≥2x²y+2xy² x²+2x²y²−2x²y−2xy²+y²≥0 x²(2y²−2y+1)−2y²x+y²≥0 Teraz obliczamy deltę po zmiennej x: Δ=4y⁴−4y²(2y²−2y+1)=4y²(y²−2y²+2y−1)=4y²(−y²+2y−1)=−4y²(y²−2y+1)=−4y²(y−1)² Teraz zauważmy, że Δ≤0 dla każdego y. Ponadto współczynnik a naszej paraboli jest większy od zera (bo a=1), co oznacza, że ramiona paraboli są zwrócone do góry. Zatem cała parabola będzie leżała nad osią OX lub będzie się z nią stykać dokładnie w jednym punkcie. Taka funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych, co kończy dowód.

silly goose: Dzięki! nie mogłam wpaść na to jak doprowadzić to wzoru skróconego mnożenia i dziękuje za pokazanie innego sposobu

ICSP: Wprost: L = x² + 2x²y² + y² = (x−xy)² + (y − xy)² + 2(x²y + xy²) ≥ 2(x²y + xy²) = P