Równanie trygonometryczne Szkolniak: Rozwiąż równanie trygonometryczne: sin³(x)+cos³(x)=1 Miałby ktoś jakąś wskazówkę? Próbowałem ze wzoru na sumę sześcianów, ale wracam do punktu wyjścia po zastosowaniu tego..

chichi: zamień 1 na sin²(x)+cos²(x), dalej łatwo pójdzie

ICSP: Dla t ∊ [0,1] mamy t³ ≤ t² Dlatego sin³x + cos³x ≤ sin²x + cos²x = 1 przy czym równość zajdzie gdy sinx = 1 ∨ cosx = 1

Szkolniak: ICSP nic mi nie mówi takie rozwiązanie, ale dziękuje, już wiem o co chodzi.

Louie314: Inne rozwiązanie: sin³x+cos³x=1 sin³x+cos³x−sin²x−cos²x=0 sin²x(sinx−1)+cos²x(cosx−1)=0 Teraz zauważmy, że sin²x i cos²x są nieujemne dla każdego x. Ponadto wyrażenia sinx−1 oraz cosx−1 są niedodatnie dla każdego x (wystarczy rozpatrzeć dziedzinę funkcji sinx i cosx). W związku z tym wystarczy, że będzie spełniony warunek: sin²x(sinx−1)=0 i cos²x(cosx−1)=0 . . .

	π
x=2kπ lub x=		+2kπ
	2

Saizou : sinx+cosx = t (+ odpowiednie założenie) sin²x+2sinxcosx + sin²x = t² 2sinxcosx = t²−1 sin³x+3sin²xcosx+3sinxcos²x + cos³x = t³ sin³x+cos³x = t³ −3sinxcosx(sinx+cosx)

	t2−1
sin3x+cos3x = t3−3*		*t
	2

Mamy do rozwiązania równanie

	t2−1
t3−3*		*t = 1
	2

2t³−3t(t²−1) = 2 t³−3t+2=0 t = 1 lub t = −2 sinx+cosx = 1 lub sinx+cosx = −2 (sprzeczność)

	π		√2
sin(x+		) =
	4		2

	π		π		π		3
x+		=		+2kπ lub x +		=		π+2kπ
	4		4		4		4

	π
x = 2kπ lub x =		+2kπ
	2

Szkolniak: Louie314 taki sposób właśnie już potem znalazłem na youtubie, też ktoś to rozwiązał w ten sposób, dziękuje! Saizou a na to to bym chyba nigdy nie wpadł, jedyny pomysł jaki miałem to właśnie ten wzór skróconego mnożenia, ale nie miało to w sumie żadnego zastosowania.. A w tym założeniu to kojarzy mi się że zbiór wartości takiej funkcji to przedział <−√2;√2>, o to chodziło? Dzięki jeszcze raz za pomoc!

jc: To spróbuje teraz rozwiązać równanie sin⁵x+cos⁵x=1

Saizou : Tak, chodziło o takie założenie. ICSP zawsze pisze, że dla funkcji y=Asinx+Bcosx jej zbiorem wartości jest przedział [−√A²+B²; √A²+B²]

blabla: albo takie sin²⁰²¹+cos²⁰²¹=1

blabla: Poprawiam zapis: sin²⁰²¹(x)+cos²⁰²¹(x)=1

Mariusz: Na pewno rozwiązanie równania sin³x+cos³x = 1 będzie spełniać także równania podane przez jc oraz blabla ale czy są też inne rozwiązania to trzeba jeszcze sprawdzić

Louie314: sin²⁰²¹(x)+cos²⁰²¹(x)=1 sin²⁰²¹(x)+cos²⁰²¹(x)=sin{2x+cos²x sin²⁰²¹(x)−sin²x+cos²⁰²¹(x)−cos²x=0 sin²(x)(sin²⁰¹⁹(x)−1)+cos²(x)(cos²⁰¹⁹(x)−1)=0 Oczywiście sin²(x)≥0 i cos²x≥0 dla każdego x. Ponadto sin²⁰¹⁹(x)−1 i cos²⁰¹⁹(x)−1 ∊ <−2,0>. Zatem pierwszy czynnik to iloczyn liczby nieujemnej oraz niedodatniej, czyli jest równy 0 bądź ujemny. Podobnie jak i drugi czynnik. Suma takich czynników będzie równa 0, gdy: sin²(x)(sin²⁰¹⁹(x)−1)=0 i cos²(x)(cos²⁰¹⁹(x)−1)=0 sin²(x)=0 lub sin²⁰¹⁹(x)=1 i cos²(x)=0 lub cos²⁰¹⁹(x)=1 sin(x)=0 lub sin(x)=1 i cos(x)=0 lub cos(x)=1

	π		π
x=kπ lub x=		+2kπ i x=		+kπ lub x=2kπ
	2		2

Ostatecznie:

	π
x=2kπ lub x=		+2kπ
	2

Mariusz: Saizou y=Asinx+Bcosx możesz zapisać jako

	A		B
√A2+B2(		sinx+		cosx)
	√A2+B2		√A2+B2

	A		A
teraz przyjmując cos(φ)=		oraz sin(φ)=
	√A2+B2		√A2+B2

otrzymujesz y=√A²+B²(cos(φ)sin(x)+sin(φ)cos(x)) y = √A²+B²sin(x+φ) a stąd już widać jaki jest zbiór wartości Osobno przydałoby się rozpatrzeć przypadek gdy A=0 ⋀ B=0 ale wtedy y = 0 Co do ICSP to nie nazwałbym go princeps mathematicorum choć dobrze radzi sobie z matematyką za to jest to arogancki typ

blabla: Oj Mariusz .... popadasz w "samouwielbienie" Wyluzuj chłopie z tymi .. "uwagami"

Anawa: Można zrobic przerwę na dwa tygodnie . Ochłonie

blabla: Chyba tak należy zrobić

Saizou : Mariusz ja to wiem