Analiza matematyczna - granica. Louie314: Oblicz:

	1+√2+3√3+...+n√n
limn→∞
	n

Mariusz: Może z trzech ciągów Z dołu każdy wyraz ograniczasz jedynkami a z góry każdy wyraz ograniczasz przez ⁿ√n

Adamm: Z twierdzenia Stolza = lim ⁿ√n = 1

Mariusz: Po zastosowaniu twierdzenia o trzech ciągach będziemy mieli

	1+√2+3√3+...+n√n
1 <		< n√n
	n

	1+√2+3√3+...+n√n
Skrajne ciągi dążą do jedynki więc także
	n

dąży do jedynki więc twierdzenie o trzech ciągach działa w tym przypadku

jc: 1 < √2 < ³√3 ³√3 > ⁴√4 > ⁵√5 > .. > 1 √2 = ⁴√4

Mariusz: Chociaż nie , do trzech ciągów trzeba by znaleźć inne górne oszacowanie

Mariusz: jc na początku myślałem aby tę granicę utożsamić z sumą Riemanna

jc: Trzy ciągi też pasują. Wystarczy do każdego składnika zastosować nierówność: ⁿ√n ≤ 1 + 2/√n

Mariusz: jc skąd wziąłeś to oszacowanie ? jc oszacowanie które zaproponowałeś sprowadza się do policzenia granicy

	2   2   2   2   1+ +1+ +1+ +...+1+   √1   √2   √3   √n
limn→∞
	n

	1		1		1		1		1
=limn→∞		(n+2(		+		+		+...+		))
	n		√1		√2		√3		√n

	1		1		1		1
=1+2limn→∞		(1+		+		+...+		)
	n		√2		√3		√n

No i teraz trzeba wykazać że

	1		1		1		1
limn→∞		(1+		+		+...+		) = 0
	n		√2		√3		√n

a to jak tę granicę policzyć nie jest takie oczywiste

ABC: https://www.fuw.edu.pl/~konieczn/analiza/ciagi_pierwiastek_n_tego_stopnia.pdf

Mariusz: ABC tak ale chciałem dokończyć liczenie tej granicy trzema ciągami jc wskazał że źle oszacowałem ten ciąg z góry i podał poprawne szacowanie ale nadal została do policzenia granica

	1		1		1		1
limn→∞		(1+		+		+..+		)
	n		√2		√3		√n

jc: Mariusz

1		2
	<		= 2(√n − √n−1)
√n		√n+√n−1

1 + 1/√2 + 1/√3+ ... + 1/√n < 2√n (−−//−−) /n →0

Mariusz: Gdybyśmy chcieli granicę

	1		1		1		1
limn→∞		(1+		+		+		)
	n		√2		√3		√n

liczyć z trzech ciągów to ograniczeniem z dołu mogłoby być

1		1		1		1
	(		+		+...+		)
n		√n		√n		√n

	1		n		1
co dałoby nam		*		=
	n		√n		√n

a to w granicy daje zero Jaki ciąg mógłby być górnym ograniczeniem ?

Adamm: z twierdzenia Stolza = lim 1/√n = 0

Mariusz: No tak ale twierdzenia Stolza mogło nie być na wykładzie (informatycy go nie mają)

Mariusz: a nie jest ok bo jc podał górne ograniczenie a dolne dość łatwo znaleźć

Adamm: Jest w Fichtenholzu

wredulus_pospolitus: Po pierwsze: ³√3 ≥ ⁿ√n dla dowolnego n naturalnego, co łatwo wykazać badając chociażby monotoniczność ciągu a_n = ⁿ√n druga sprawa ... granica tego ciągu NIE MOŻE być równa zero prawie wszystkie (po pierwszym) elementy ciągu a_n są większe o 1, tak więc granicą jest CONAJMNIEJ 1 (a co najwyżej ³√3)

wredulus_pospolitus: granicą będzie '1' i wykazujemy to poprzez patrzenie na to co reprezentują sobą kolejne

	∑ an
elementy ciągu bn =
	n

aby wykazać, że granica jest równa 1 należy: 1) wykazać, że lim ⁿ√n = 1 2) wykazać, że ciąg a_n = ⁿ√n jest ciągiem malejącym dla n > 2 3) zauważyć, że ciąg b_n to nic innego jak średnia arytmetyczna elementów ciągu a_n od 1 do n 4) najłatwiej będzie to dowieść poprzez dowód niewprost, pokazując że jeżeli granicą było g > 1 to ∃_K ∀_k>K a_k < g co za tym idzie, wystąpi taki w>k, że b_w < g (to nie jest dowód −−− to jest tylko szkic tego co należy pokazać)

Anawa: Kiedy byłem w przedszkolu ,chciałem się uczyć. Kiedy chodziłem do szkoły ,chciałem iść na studia . Na studiach muszę się uczyc takich rzeczy żeby iść do pracy . Co mi kuż...a w tym przedszkolu nie pasowało?

jc: Przecież jasne jest, że najprostsze jest rozwiązanie Adamma. Nawet nie trzeba Stoza, wystarczy szczególny przypadek, kiedy w mianowniku mamy n.

	2
Nierówność n√n < 1 +		można wykorzystać do dowodu, że n√n →1.
	√n

Taki dowód można znaleźć w Wikipedii w tekście o nierówności pomiędzy średnimi,

Mariusz: "granica tego ciągu NIE MOŻE być równa zero" tak tyle że to nie granica ciągu podanego przez Louie ma być równa zero tylko granica

	1		1		1		1
limn→∞		(1+		+		+...+		)
	n		√2		√3		√n

a granica ta powstała z oszacowania podanego przez jc co widać we wpisie z 23 kwi 2021 14:25

Adamm:

	1
Jeśli wiemy że ∑		jest zbieżny dla α>1, to możemy po prostu oszacować
	nα

	1		1		1
że		* ∑k=1n		≤ nr−1/2 ∑		→ 0 dla 0<r<1/2
	n		√k		kr+1