rekurencja rek: Równanie rekurencji liniowej niejednorodnej a(n) = 3a(n−1) + 10a(n−2) + 4n − 5, a(0)=−2, a(1)=1 Wyszło mi rozwiązanie ogólne a(n) = α(1) * 5ⁿ + α(2) * (−2)ⁿ I tu się zatrzymałem. Nie wiem jak wyznaczyć równanie szczególne. Mógłby ktoś pomóc?

Mila: a(n) = 3a(n−1) + 10a(n−2) + 4n − 5, a(0)=−2, a(1)=1 1) Z równania charakterystycznego: x=−2 lub x=5 a_n⁽¹⁾=A*(−2)ⁿ+B*5ⁿ 3) a_n²=C*n+D − przewidywana postać C*n+D=3* [C*(n−1)+D]+10*[C*(n−2)+D]+4n−5 wyznacz C i D Wg moich rachunków:

	1		2
C=−		i D=−
	3		9

4) Wyznaczamy korzystając z war. początkowych wartości : A i B

	1		2
an=A*(−2)n+B*5n−		n−		− postać rozwiązania
	3		9

===========================

	2		16
a0=−2=A+B−		⇔A+B=−
	9		9

	1		2		14
a1=1=−2A+5B−		−		⇔−2A+5B=
	3		9		9

	16		14
A+B=−		i −2A+5B=
	9		9

	94		2
A=−		, B=−
	63		7

5)

	94		2		1		2
an=−		*(−2)n−		*5n−		n−
	63		7		3		9

=======================

rek: Dziękuję bardzo, jednak dalej nie rozumiem jak dokładnie zostało wyznaczone to C i D.

rek: Chyba załapałem − wystarczy utworzyć równania bazując na potęgach n, w tym przypadku n¹ i n⁰. Dziękuję jeszcze raz.

Mila: C*n+D=3* [C*(n−1)+D]+10*[C*(n−2)+D]+4n−5 C*n+D=3 cN−3C+3D+10C*n−20C+10D+4n−5 −12C*n−12D+23C=4n−5 porównanie współczynników: −12C=4 i 23C−12D=−5

	1		2
C=−		, D=−
	3		9

	1		2
an(2)=−		n−
	3		9

Mariusz: a(n) = 3a(n−1) + 10a(n−2) + 4n − 5, a(0)=−2, a(1)=1 Funkcja tworząca jest wygodniejsza w użyciu i pozwala więcej równań rozwiązać A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=2^∞a_nxⁿ=∑_n=2^∞3a_n−1xⁿ+∑_n=2^∞10a_n−2xⁿ +∑_n=2^∞(4n−5)xⁿ ∑_n=2^∞a_nxⁿ=3x(∑_n=2^∞a_n−1xⁿ⁻¹)+10x²(∑_n=2^∞a_n−2xⁿ⁻²) +∑_n=0^∞(4n−5)xⁿ−(−5−x)

	1
∑n=0∞xn=
	1−x

d		d		1
	(∑n=0∞xn)=		(		)
dx		dx		1−x

	1
∑n=0∞nxn−1=−		(−1)
	(1−x)2

	1
∑n=1∞nxn−1=
	(1−x)2

	1
∑n=0∞(n+1)xn=
	(1−x)2

∑_n=2^∞a_nxⁿ=3x(∑_n=1^∞a_nxⁿ)+10x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) +∑_n=0^∞4(n+1)xⁿ−∑_n=0^∞9xⁿ+x+5 ∑_n=2^∞a_nxⁿ=3x(∑_n=1^∞a_nxⁿ)+10x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ)

	4		9
+		−		+x+5
	(1−x)2		1−x

∑_n=0^∞a_nxⁿ+2−x=3x(∑_n=0^∞a_nxⁿ+2)+10x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ)

	4		9
+		−		+x+5
	(1−x)2		1−x

∑_n=0^∞a_nxⁿ=3x(∑_n=0^∞a_nxⁿ)+10x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ)

	4		9
+		−		+x+5−2+x+6x
	(1−x)2		1−x

	4		9
A(x)(1−3x−10x2)=		−		+8x+3
	(1−x)2		1−x

	4−9(1−x)+(8x+3)(1−2x+x2)
A(x)(1−3x−10x2)=
	(1−x)2

8x³−16x²+8x+3x²−6x+3=8x³−13x²+2x+3 8x³−13x²+2x+3+9x−9+4=8x³−13x²+11x−2

	8x3−13x2+11x−2
A(x)=
	(1−3x−10x2)(1−x)2

	8x3−13x2+11x−2
A(x)=
	(1−5x)(1+2x)(1−x)2

8x3−13x2+11x−2		A		B		C		D
	=		+		+		+
(1−5x)(1+2x)(1−x)2		1−5x		1+2x		1−x		(1−x)2

A(1+2x)(1−2x+x²)+B(1−5x)(1−2x+x²)+C(1−x)(1−5x)(1+2x)+D(1−5x)(1+2x)=8x³−13x²+11x−2 (2x³−3x²+1)A+(−5x³+11x²−7x+1)B+(10x³−7x²−4x+1)C+(1−3x−10x²)D=8x³−13x²+11x−2 2A−5B+10C=8 −3A+11B−7C−10D=−13 −7B−4C−3D = 11 A+B+C+D = −2 Po rozwiązaniu tego układu równań liniowych łatwo rozwiniesz funkcję tworzącą w szereg korzystając z sumy szeregów geometrycznych i ich pochodnych

Mariusz: Ten układ równań można dość łatwo rozwiązać z użyciem macierzy odwrotnej Poniżej podaję kod programu w C https://pastebin.com/E0pj4fDS