prosze jeszcze o pomoc
karola: « Wielomian P(x)=2x4+x3+4x2−2x+5 przedstaw w postaci
\left(2x2+b1x+c1\right)\left(x2+b2x+c2\right) , gdzie b1,c1,b2,c2\in\mathbb{C} .
Podaj mniejszą z liczb b1 i b2
prosze o rozpisanie , czy jest jakas zasada tworzenia tych iloczynow ?
19 kwi 16:33
ABC: jest zasada , metoda współczynników nieoznaczonych , przy czym użytkownik Mariusz nie lubi
niektórych wersji tej metody , gdzie zakładasz od razu że jest możliwy rozkład w liczbach
całkowitych
19 kwi 16:36
jc: Spróbowałem dobrać a i b tak, aby rozkładem był iloczyn (2x2+ax+5)(x2+bx+1).
Mogło nie wyjść, ale wyszło.
2b+a=1
2+ab+5=4
a+5b=−2
Pierwsze i ostatnie równane dają a=3, b=−1. Liczby te spełniają również drugie równanie.
19 kwi 17:02
Mariusz:
ABC , ja trochę tych równań czwartego stopnia rozwiązałem i uważam że na ogół mniej
liczenia jest gdy zapiszesz ten wielomian najpierw w postaci różnicy kwadratów
(x
2+b
1x+c
1)(x
2+b
2x+c
2)=x
4+a
3x
3+a
2x
2+a
1x+a
0
x
4+b
2x
3+c
2x
2+b
1x
3+b
1b
2x
2+b
1c
2x+c
1x
2+b
2c
1x+c
1c
2=
x
4+a
3x
3+a
2x
2+a
1x+a
0
x
4+(b
1+b
2)x
3+(c
1+c
2+b
1b
2)x
2+(b
1c
2+b
2c
1)x+c
1c
2=
x
4+a
3x
3+a
2x
2+a
1x+a
0
b
1+b
2=a
3
c
1+c
2+b
1b
2=a
2
b
1c
2+b
2c
1=a
1
c
1c
2=a
0
b
2=a
3−b
1
c
1+c
2=a
2−b
1(a
3−b
1)
(a
3−b
1)c
1+b
1c
2=a
1
c
1c
2=a
0
W = 1*b
1−1*(a
3−b
1)
W=2b
1−a
3
Wc
1=(a
2−b
1(a
3−b
1))b
1−a
1
Wc
2=a
1−(a
2−b
1(a
3−b
1))(a
3−b
1)
Wc
1=(a
2−a
3b
1+b
12)b
1−a
1
Wc
1=b
13−a
3b
12+a
2b
1−a
1
Wc
2=a
1+(a
2−a
3b
1+b
12)(b
1−a
3)
Wc
2=b
13−a
3b
12+a
2b
1−a
3b
12+a
32b
1−a
3a
2+a
1
Wc
2=b
13−2a
3b
12+(a
2+a
32)b
1−a
3a
2+a
1
b
2=a
3−b
1
| | b13−a3b12+a2b1−a1 | |
c1= |
| |
| | 2b1−a3 | |
| | b13−2a3b12+(a2+a32)b1−a3a2+a1 | |
c2= |
| |
| | 2b1−a3 | |
| b13−2a3b12+(a2+a32)b1−a3a2+a1 | |
| =a0 |
| 2b1−a3 | |
(b
13−a
3b
12+a
2b
1−a
1)
(b
13−2a
3b
12+(a
2+a
32)b
1−a
3a
2+a
1)−a
0(2b
1−a
3)
2=0
Teraz proponuję zastosować podstawienie
2b
1−a
3=p
2b
1=p+a
3
Po tym podstawieniu dostaniemy równanie trzeciego stopnia zmiennej p
2
Wg mnie tym sposobem będzie więcej liczenia niż sprowadzając wielomian najpierw
do postaci różnicy kwadratów a później iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych
19 kwi 18:36
ABC: zgadzam się że w zastosowaniach inżynierskich z praktycznymi liczbami tu będzie więcej liczenia
, ale w zadaniach licealnych jeśli dają coś takiego to przeważnie daje się w liczbach
całkowitych to zrobić , i przy takim założeniu ten sposób może być krótszy jeśli mamy farta i
taki rozkład istnieje
19 kwi 18:59
Mariusz:
Jeżeli wielomian czwartego stopnia na wejściu będzie miał takie współczynniki że
a4 = 1 ⋀ a3 = 0
to metoda współczynników nieoznaczonych się uprości
ale będzie wymagała nieco więcej obliczeń niż zapisanie wielomianu w postaci różnicy kwadratów
ICSP proponuje jako przypadek szczególny wydzielić równania zwrotne , pseudozwrotne itp
Wg mnie to nie ma sensu bo równanie rozwiązujące dla tych równań jest już częściowo rozłożone
i wystarczy wyciągnąć wspólny czynnik
Gdybym miał wydzielać jakiś przypadek szczególny równania czwartego stopnia
to byłoby to równanie dwukwadratowe bo po sprowadzeniu równania czwartego stopnia
do postaci gdzie a4 = 1 ⋀ a3 = 0
zapobiegłoby to późniejszemu dzieleniu przez zero w metodzie współczynników nieoznaczonych
19 kwi 21:07
πesio:
(2x4−2x3+2x2)+(3x3−3x2+3x)+(5x2−5x+5)=
2x2(x2−x+1)+3x(x2−x+1)+5(x2−x+1)=
(x2−x+1)(2x2+3x+5)
===============
19 kwi 21:37
Mariusz:
πesio
Nie czytałeś co Karola napisała w swoim wpisie
" czy jest jakas zasada tworzenia tych iloczynow ?"
20 kwi 05:14