rownainie rozniczkowe HGH: rozwiąż układ równan rożniczkowych: x' = 4x + y −e^2t y' = y −2x narazie wyliczyłem x(t) = c1e^2t + c2e^3t + te² jest ok?

wredulus_pospolitus: nie bardzo

HGH: mam chyba bład, powinno być 2te^2t?

wredulus_pospolitus: zauważ, że przy takim x(t) mamy: x' = 2c₁e^2t + 3c₂e^3t + e² więc: y(t) = (1−2c₁)e^2t − c₂e^3t − e²(4t − 1) więc: y' = 2(1−2c₁)e^2t − 3c₂e^3t − 4e² i sprawdzamy czy: y' = y − 2x 2(1−2c₁)e^2t − 3c₂e^3t − 4e² = (1−4c₁)e^2t − 3c₂e^3t − e²(6t − 1) więc mamy: e^2t = 5e² − 6te² no chyba nie bardzo dobrze to wygląda, nie sądzisz

HGH: tak, sadz że wyglada to conajmniej zle. Rozpisze jak liczyłem.

wredulus_pospolitus: x(t) = c₁e^3t + c₂e^2t + te^2t

HGH: x'' = 4x' + y' −2e^2t = 4x' + y −2x −2e^2t więc dalej: x''=4x'+x' − 4x + e^2t −2x −2e^2t co dało mi: x'' −5x' +6x = −e^2t i wydaje mi się, że już tutaj jest bład, pomożesz go znaleźć Arturze?

HGH: i dalej nawiazując do Twojego wpisu z 22:53 wyszło mi dokładnie tak jak podałeś, to dolicze jeszcze y(t)

HGH: i teraz: y(t) = −c₁e^3t −2c₂e^2t?

HGH: nie to chyba jednak y(t) = −c1 e^3t −2c2 e^2t −2te^2t + 2e^2t

HGH: sprawdziłem i wydaje sie być poprawnie. To dalej wobec tego rozwiazanie z linku: https://imgur.com/a/qidhjdS jest niepoprawne?

HGH: podbijam

Mariusz: x' = 4x + y −e2t y' = y −2x Jak chcesz to rozwiązywać ? Eliminacją czy licząc wartości i wektory własne dla układu jednorodnego a następnie uzmienniając stałe Eliminacja y=x'−4x+e^2t y' = x''−4x'+2e^2t x''−4x'+2e^2t=x'−4x+e^2t−2x x''−5x'+6x=−e^2t x''−5x'+6x=0 x(t)=e^λt λ²e^λt−5λe^λt+6e^λt=0 (λ²−5λ+6)e^λt=0 λ²−5λ+6=0 (λ−2)(λ−3)=0 x_j=C₁e^2t+C₂e^3t x_s = C₁(t)e^2t+C₂(t)e^3t C₁'(t)e^2t+C₂'(t)e^3t=0 2C₁'(t)e^2t+3C₂'(t)e^3t=−e^2t C₁'(t)e^2t=−C₂'(t)e^3t −2C₂'(t)e^3t+3C₂'(t)e^3t=−e^2t C₁'(t)e^2t=−C₂'(t)e^3t C₂'(t)e^3t=−e^2t C₁'(t)=−C₂'(t)e^t C₂'(t)=−e^−t C₂(t)=e^−t C₁'(t)=1 C₂(t)=e^−t C₁(t)=t x_s = te^2t+e^−te^3t x_s = (t+1)e^2t Całka ogólna równania niejednorodnego jest sumą całki ogólnej równania jednorodnego i całki szczególnej równania niejednorodnego x=C₁e^2t+C₂e^3t+(t+1)e^2t co można by było jeszcze uprościć przyjmując inną stałą C₁ x=C₁e^2t+C₂e^3t+(t+1)e^2t y=x'−4x+e^2t y=2C₁e^2t+3C₂e^3t+e^2t+2(t+1)e^2t−4(C₁e^2t+C₂e^3t+(t+1)e^2t)+e^2t y=2C₁e^2t+3C₂e^3t+(2t+3)e^2t−4C₁e^2t−4C₂e^3t−4(t+1)e^2t+e^2t y=−2C₁e^2t−C₂e^3t−2te^2t x=C₁e^2t+C₂e^3t+(t+1)e^2t y=−2C₁e^2t−C₂e^3t−2te^2t Jeśli chodzi o x(t) to wynik wyszedł ci poprawny

HGH: Szczerze nie wiem jak nazywa się metoda która to liczymy, wykładowca nazywa to ,,Metoda z wykorzystaniem macierzy Jordana" sprawdzilem, dla wygody gdy c1=c2=0 i wynik wyszedl mi poprawny, jak to mozliwe? I widze ze Tobie Mariusz wyszlo inne x(t) to tez moze byc poprawne? Swoja droga dzieki wielkie za rozpisanie

Mariusz: Sprawdzałem poprawność wyniku Można było przyjąć inną stałą w moim rozwiązaniu wtedy x(t) byłby taki sam jak u ciebie przyjmując że u ciebie ten brak t w funkcji wykładniczej to tylko literówka

HGH: tak to akurat byla literowka przy przepisywaniu juz gotowego rozwiazania na forum, to co w takim razie z funckaj y(t)? jak ona poprawnie bedzie wygladac? I mam jeszcze takie pytanie, gdzie moge dosc sprawnie sprawdzic rozwiazanie takiego ukladu rownan? Bo wolfram juz wymieka.

jc:

	4 1 −2 1
M=

x y		x y		e2t 0
	' = M		−

Wektory i wartości własne

	1 −2		1 −2		1 −1		1 −1
M		=2		, M		=3

	1 −2		1 −1
Rozwiązanie równania jednorodnego z warunkiem początkowym A		+B		.

x y		1 −2		1 −1		1 −2		1 −1
	= etM[A		+B		]=Ae2t		+Be3t

Szczególne rozwiązanie równanie niejednorodnego

1 0		1 −1		1 −2
	= 2		−

x y		e2t 0		1 −1		1 −2
	'=− e−tM		= − e2t e−tM (2		−		)

	1 −1		1 2
=−e2t[2e−3t		− e−2t		]

wymnóż, dodaj i całkuj... Można jeszcze metodą Laplace'a.

Mariusz: Jest jeszcze całkowanie układu w postaci symetrycznej co jest jeszcze bardziej ogólne i przyda mu się w równaniach cząstkowych HGH najlepiej samemu sprawdzić wstawiając rozwiązanie układu do równania

HGH: możliwe, ze już mi się nie przyda w równaniach cząstkowych bo po rachunku operatorowym ten przedmiot koncze. Chyba ze równania cząstkowe to coś z własnie tego rachunku. Ok rozumiem to tak bede sprawdzal i rozumiem ze moge dla wygody przyjmowac c1= c2 = 0 i wtedy sprawdzac?

Mariusz : Jak przedmiot ci się kończy po rachunku operatorowym to równań cząstkowych mieć już nie będziesz W kolejnych semestrach nie będziesz mieć już analizy ? Dla jednorodnego układu z twojego przykładu wygląda tak x' = 4x + y y' = y −2x a zapisany w postaci symetrycznej wyglądałby tak

dx		dy		dt
	=		=
4x+y		y−2x		1

Biorąc równanie

dx		dy
	=
4x+y		y−2x

otrzymujesz równanie jednorodne pierwszego rzędu

dy		y−2x
	=
dx		4x+y

HGH: Niestety albo i stety po tym semestrze kończe przygode z matematyka (przynajmniej na obecnych studiach) Jeszcze tylko rachunek operatorowy i statystyka. Mariusz, to rozumiem ze c1 = c2 = 0 moge podstawiac w celu weryfikacji wyniku?

Mariusz: Wstawiasz do układu równań wyliczone x(t) oraz y(t) W twoim układzie równań będą to x=C₁e^2t+C₂e^3t+(t+1)e^2t y=−2C₁e^2t−C₂e^3t−2te^2t