Obliczanie pochodnej funkcji Kck: Mam funkcję V(r)=¹₃*r²*√100−20r. Chciałbym obliczyć teraz pochodną tej funkcji aby wyznaczyć największą objętość tego stożka. Wciągnąłem r² pod pierwiastek. Czy teraz mogę zignorować resztę i przyrównać to co pod pierwiastkiem do zera? Jeżeli tak to dlaczego nie muszę normalnie liczyć pochodnej tylko mogę przyrównać wszystko to co pod pierwiastkiem do zera?

ICSP: No nie do końca tak. Po pierwsze dziedzina: r ≤ 5 Po drugie po wciągnięciu pod pierwiastek dostajesz:

	1
V(r) =		√(100r4 − 20r5)
	3

Definiujesz sobie nową funkcję: f(r) = 100r⁴ − 20r⁵ i dopiero jej pochodną liczysz. P.S. Jeżeli wciągniesz r² pod pierwiastek a następnie przyrównasz wyrażenie pod pierwiastkiem do 0 to dostaniesz miejsca zerowe funkcji V (a chyba nie o to ci chodzi.)

Kck: Rozumiem, ale dlaczego akurat mogę zignorować resztę i z wyrażenia pod pierwiastkiem zrobić drugą funkcję?

Szkolniak: Wynika to z monotoniczności funkcji y=√x, tak naprawdę im większa wartość tego co jest pod pierwiastkiem, tym większa wartość pierwiastka, zatem możemy rozważyć jedynie funkcje podpierwiastkową.

ICSP: Funkcja √g(x) posiada ekstremum w tym samym punkcie co funkcja g(x). Wynika to z monotoniczności pierwiastka. Na maturze nie musisz tłumaczyć dlaczego tak jest wystarczy, że zdefiniujesz sobie odpowiednio funkcję.

Kck: A jeżeli nie zdecydowałbym się wciągnąć r² pod pierwiastek to w jaki sposób obliczyłbym pochodną tego wyrażenia?

ICSP: Pochodna iloczynu funkcji oraz pochodna złożenia funkcji. Tej drugiej nie ma na maturze.

Szkolniak: Wtedy wzór na pochodną iloczynu. Jeśli już to można wciągnąć pod pierwiastek i policzyć pochodną z pierwiastka.

	1
V(r)=		√100r4−20r5
	3

	1		1
V'(r)=		*		*(100r4−20r5)'=
	3		2√100r4−20r5

	400r3−100r4
=
	6√100r4−20r5

Kck: A skąd się bierze licznik? Mi wyszło po prostu V'(r)=¹₃*(100r⁴−20r⁵)¹/2, dalej V'(r)=¹₃*¹₂(100r⁴−20r⁵)⁻1/2 i w końcu V'(r)=¹₃*¹₂*¹_{√100r⁵−20r⁵}

ICSP: Wzór na pochodną funkcji złożonej. To jest właśnie powód dla którego definiujesz nową funkcję. Zauważ, że wyrażenie w liczniku jest identyczne jak pochodna funkcji f zaproponowanej przez mnie o godzinie 21:06. Od taka sztuczka aby uniknąć wzorów których nie ma w podstawie programowej.