Optymalizacja 100DniDoMatury: Na kole o promieniu 12cm opisano trójkąt prostokątny. Oblicz długości boków trójkąta, którego pole jest najmniejsze Na podstawie cechy kkk napisałem że ABC i ABD są podobne, więc skorzystałem z zależności ^12+x_x = ^y+x_y+12 x(x+y) = (12 + x)( 12 + y) x²+xy = 144+12y+12x x²−12x−144=12y y= ¹₁₂x²−x−12 Następnie wyliczony y wstawiłem do wzoru na pole P=(12+y)(12+x) P= ¹₁₂x³−12x Obliczyłem pochodną P'(x)= ¹₄x²−12 I znalazłem x=4√3 Czy to dobry sposób?

100DniDoMatury: x wychodzi chyba za mały...

getin: niestety źle gdy przyprostokątne są różne, to punkty A, S i D nie leżą na jednej prostej x od y uzależnisz Pitagorasem w ΔABC

100DniDoMatury: Niestety jak tego próbowalem to nie wyszło Mogę prosić o pomoc?

getin: (12+x)²+(12+y)² = (x+y)² 144+24x+x² + 144+24y+y² = x²+2xy+y² 2xy−24y = 24x+288 y(x−12) = 12x+144

	12x+144
y =
	x−12

	1
P =		*(12+x)*(12+y)
	2

	1		12x+144
P(x) = (6+		x)*(12+		)
	2		x−12

	1		12(x−12)+12x+144
P(x) = (6+		x)*(		)
	2		x−12

	1		12x−144+12x+144
P(x) = (6+		x)(		)
	2		x−12

	24x(6+12x)
P(x) =
	x−12

	144x+12x2
P(x) =
	x−12

	(144+24x)(x−12)−144x−12x2
P'(x) =
	(x−12)2

	144x−1728+24x2−288x−144x−12x2
P'(x) =
	(x−12)2

	12x2−288x−1728
P'(x) =
	(x−12)2

P'(x) = 0 gdy 12x²−288x−1728 = 0 x² − 24x − 144 = 0 Δ = (−24)²−4*1*(−144) = 576 + 576 √Δ = 24√2

	24−24√2
x1 =		= 12−12√2
	2

	24+24√2
x2 =		= 12+12√2
	2

dla x = 12+12√2 jest minimum funkcji P(x)

	12x+144
Obliczamy y dla x = 12+12√2 ze wzoru y =
	x−12

	12(12+12√2)+144		144+144√2+144
y =		=		=
	12+12√2−12		12√2

	12+12√2+12		24√2+24
=		=		= 12+12√2
	√2		2

100DniDoMatury: Teraz wszystko oczywiste... Dziękuję!

xela: P_Δ=x*y −− jest najmniejsze gdy x=y zatem trójkąt jest prostokątny równoramienny z tw. Pitagorasa 2(x+12)²= 4x² (x+12)²=(√2x)² (√2−1)x=12 x=12(√2+1)=y a=b=12(√2+2) , c=2x= 24(√2+1) ==========================

Iryt: https://zadania.info/d547/3358474