prawdopodobienstwo yoda: Ze zbioru liczb{1, 2 . . . , 6n+1},n>1 losujemy kolejno trzy razy po jednej liczbie bez zwracania. Niech An oznacza zdarzenie polegajace na tym, ̇ze iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6. Oblicz granice limn→+∞P(An)

	6n+1 3
|Ω|=

ale jak wyznaczyc An podzielne przez 6 ze zbioru z niewiadomia? probowalem wybrac 3 kolejne liczby od 6n−1 ale PAn wychodzi >1

yoda: lim=1 nie widze innej opcji...

Saizou : Iloczyn 3 liczb można rozbić na przypadki a) parzysta, parzysta, parzysta 1) dla co najmniej jednej parzystej podzielnej przez 3, iloczyn jest podzielny przez 6 2) dla parzystych niepodzielnych przez 3, iloczyn jest niepodzielny przez 6 b) parzysta, parzysta, nieparzysta → podzielne przez 6 c) parzysta, nieparzysta, nieparzysta → podzielne przez 6 d) nieparzysta, nieparzysta, nieparzysta → nie podzielne przez 6 Łatwiej liczyć zdarzenie przeciwne.

Mila: yoda Spróbuj rozwiązać dwa przypadki : {1,2,3,4,5,6,7} dla n=1 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13} dla n=2 według sugestii Saizou − wykorzystaj zdarzenie przeciwne.

Mila: Ze zbioru liczb{1, 2,3 . . . ,6,7} losujemy trzy liczby jednocześnie, n=1 iloczyn nie jest podzielny przez 6 1) losujemy 3 liczby ze zbioru {1,2,4,5,7}

5 3
	=10

2) Losujemy liczbę podzielną przez 3 (oprócz podzielnej przez 6) i dwie ze zbioru {1,5,7}

	3 2
1*		=3

10+3=13

	7 3
===========		−13=22 − ilość iloczynów podzielnych przez 6.

	22
p=
	35

Ze zbioru liczb{1, 2,3 ,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13} losujemy trzy liczby jednocześnie, n=2

	9 3
a)		=84

	3 1		5 2
b)		*		=30

84+30=114

	13 3
===========		−114=286−114=172

	172		86
p=		=
	286		143

o ile dobrze wyliczyłam. spróbuj jakieś ogólne zależności znaleźć dl zbioru : {1, 2 . . . , 6n+1}

wredulus_pospolitus: 1. Zauważmy, że aby liczba była podzielna przez 6 musi zajść jedno z dwóch zdarzeń: a) wylosujemy wielokrotność 6 i 'cokolwiek' b) wylosujemy wielokrotność 2 i wielokrotność 3 i cokolwiek ale musimy uważać na części wspólne, a więc mamy: dla każdego 'n' będziemy mieli dokładnie: n razy wielokrotność 6 n razy wielokrotność 3 (ale nie wielokrotność 6) 2n razy wielokrotność 2 (ale nie wielokrotność 6) i mamy: B: losujemy 3x wielokrotność 6 C: losujemy 2x wielokrotność 6 i dowolną (ale nie wielokrotność 6) D: losujemy 1x wielokrotność 6 i 2x dowolne (ale nie wielokrotność 2 lub 3) E: losujemy 1x wielokrotność 6 + 1x podzielna przez 2 lub 3 (ale nie przez 6) + 1x niepodzielną F: losujemy 1x wielokrotność 6 + 2x podzielna przez 2 G: losujemy 1x wielokrotność 6 + 2x podzielna przez 3 H: losujemy 1x podzielna przez 2 (ale nie przez 6) + 1x podzielna przez 3 (ale nie przez 6) + 1x niepodzielna I: losujemy 2x podzielna przez 2 (ale nie przez 6) + 1x podzielna przez 3 (ale nie przez 6) J: losujemy 1x podzielna przez 2 (ale nie przez 6) + 2x podzielna przez 3 (ale nie przez 6) K: losujemy 1x podzielne przez 2 (ale nie przez 6) + 1x podzielna przez 3 (ale nie przez 6) + 1x wielokrotność 6 Trochę przypadków mamy, ale dzięki temu mamy pewność że nie będziemy liczyć czego parokrotnie i tak mamy:

	n*(n−1)*(n−2)
P(B) =
	(6n+1)*6n*(6n−1)

	n*(n−1)*(5n+1)*3
P(C) =
	(6n+1)*6n*(6n−1)

	n*(2n+1)*2n*3
P(D) =
	(6n+1)*6n*(6n−1)

	n*3n*(2n+1)*3!
P(E) =
	(6n+1)*6n*(6n−1)

	n*(2n)*(2n−1)*3
P(F) =
	(6n+1)*6n*(6n−1)

	n*n*(n−1)*3
P(G) =
	(6n+1)*6n*(6n−1)

	2n*n*(2n+1)*3!
P(H) =
	(6n+1)*6n*(6n−1)

	2n*(2n−1)*n*3
P(I) =
	(6n+1)*6n*(6n−1)

	2n*n*(n−1)*3
P(J) =
	(6n+1)*6n*(6n−1)

	2n*n*n*3!
P(K) =
	(6n+1)*6n*(6n−1)

I stąd mamy: P(A_n) = P(B) + P(C) + .... + P(K)

	133		133
lim P(An) =		=
	63		216

można policzyć granice dla każdego przypadku i je później dodać (korzystając z twierdzenia że granica sumy równa się sumie granic (o ile wszystkie granice istnieją i są zbieżne)

wredulus_pospolitus: A jakby to było z przeciwnego. Mielibyśmy miej przypadków bo w grę wchodziło by: L −−− 3x niepodzielne M −−− 2x niepodzielne + 1x podzielność przez 2 lub 3(ale nie wielokrotność 6) N −−− 1x niepodzielne + 2x podzielne przez 2 (ale nie przez 6) O −−− 1x niepodzielne + 2x podzielne przez 3 (ale nie przez 6) P −−− 3x podzielne przez 2 (ale nie przez 6) R −−− 3x podzielne przez 3 (ale nie przez 6) I stąd mamy:

	(2n+1)*2n*(2n−1)
P(L) =
	(6n+1)6n(6n−1)

	(2n+1)*2n*3n*3
P(M) =
	(6n+1)6n(6n−1)

	(2n+1)*2n*(2n−1)*3
P(N) =
	(6n+1)6n(6n−1)

	(2n+1)*n*(n−1)*3
P(O) =
	(6n+1)6n(6n−1)

	2n*(2n−1)*(2n−2)
P(P) =
	(6n+1)6n(6n−1)

	n*(n−1)*(n−2)
P(R) =
	(6n+1)6n(6n−1)

	8 +36 +24 +6 +8 +1		83
Lim P(A'n) =		=
	63		216

	216 − 83		133
−−−> lim P(An) =		=
	216		216

wredulus_pospolitus: I jak widzisz ... jest jednak inna opcja

Mila: Cześć Artur, u mnie mniej przypadków. Zostawiam dla yody dalsze obliczenia. Nie uwzględniam kolejności, bo losowanie bez zwracania.

wredulus_pospolitus: Witaj Milusińska ... jasne że masz mniej przypadków ... ja wolałem przy wersji ogólnej rozwalić to na jak najbardziej 'prymitywne' przypadki, aby mieć 100% pewności że czegoś nie pominę (a gdybym nie zrobił przeciwnego to bym zapomniał o przypadku 'K' )

wredulus_pospolitus: ewentualnie można było się bawić metodą włączeń i wyłączeń co by zredukowało całą akcję o kilka przypadków, ale nadal ... trochę zabawy by z tym było

Mila: Artur , nie wiem kto z nas popełnił błąd, moje p jest większe o 0.025. Możliwe, że czegoś nie uwzględniłam, bo Ty na dwa sposoby masz to samo. U mnie ładnie się liczy te przypadki. Jutro jeszcze popatrzę i przeliczę.. Ciekawe, czy autor ma odpowiedź. Dobranoc

wredulus_pospolitus: Miluś ... ale Ty przecież nie policzyłaś granicy. Związku z tym czynniki które w granicy się pomija (n niższej potęgi) ja pomijam, a Ty brałaś je pod uwagę

wredulus_pospolitus: A autor nie ma odpowiedzi skoro od razu pisał, że według niego musi ta granica wynosić 1

Mila: Policzyłam jak trzeba. Uogólniłam problem i policzyłam. Wolfram to samo mi pokazał Założyłam , że Ty masz dobrze.

wredulus_pospolitus: no to nie wiem ... równie dobrze ja coś mogę mieć zrąbane, chociaż nie wydaje mi się ... dlatego właśnie jechałem po bardzo szczegółowych zdarzeniach, aby czegoś nie pominąć / czegoś nie liczyć parokrotnie

wredulus_pospolitus: nie no ... Miluś ... spojrzałem jak rozpisałaś sobie warunki i już widzę że za mało masz przypadków bo masz: (1) niepodzielne przez nic lub podzielne tylko przez 2 (i z tego wybierasz 3 liczby) (2) 1x podzielna tylko przez 3 i dwie niepodzielne to przy n=1 było poprawne, ale już przy n=2 to za mało bo przecież już przy n=2 masz możliwość 2x podzielna przez 3 + 1x niepodzielna a w ogólnym przypadku masz jeszcze 3x podzielna przez 3 A tych przypadków już nie miałaś

wredulus_pospolitus: Więc można spróbować: (1) niepodzielne lub podzielne tylko przez 2 (2) niepodzielne lub podzielne tylko przez 3 (3) niepodzielne (1) + (2) − (3) I mamy:

	(4n+1)4n(4n−1) + (3n+1)3n(3n−1) − (2n+1)2n(2n−1)
P(A'n) =
	(6n+1)6n(6n−1)

	43 + 33 − 23		83
Lim A'n =		=		czyli tak samo jak 22:02
	63		216

Mila: Tak. Teraz wszystko się zgadza, sama uzupełniłam to , o czym piszesz 23:46. Dzięki za potwierdzenie W takim razie już nie piszę swojej wersji.