Dowód, nierówność Szkolniak: Udowodnij, że gdy ab=4 oraz a,b≥0, to a+b≥4. Rozumiem, że tezy przekształcać w żaden sposób się nie powinno w takim razie podszedłem do tego zadania w ten sposób: a+b≥4 / podnoszę do kwadratu, bo a,b≥0 a²+2ab+b²≥16 a²+b²+8≥16 a²+b²≥8 I co w tym momencie? Bo jeśli teza powinna pozostać nieruszona, to ciężko mi inaczej spróbować.

Filip: aa tutaj a_m>=g_m

a+b
	>=√ab
2

U{a+b}>=2√4 a+b>=4 i masz teze

Szkolniak: A inny sposób, niewykorzystujący tego, co zaprezentowałeś?

Saizou : ab=4, to b = 4/a Wówczas teza wygląda następująco: a + 4/a ≥ 4. (a−2)²≥0 a²−4a+4≥0 a²+4≥4a a+4/a≥4

Szkolniak:

	4
Też myślałem żeby podzielić przez 'a' i wychodzi b=		, ale mamy podane, że a,b≥0. Czy w
	a

takim razie można dzielić przez 'a' lub 'b'?

Saizou : Równe nie może być, gdyby tak było, to iloczyn były równy 0

Szkolniak: Eh, racja, masakra z tym.. Dzięki za pomoc A sposobu Filipa nie wykorzystałbym, bo w szkole nawet nie byłem uczony korzystania z takich nierówności i nie kombinuje nigdy z tego

Filip: no z takiej postaci mi sie widzi (a+b)²>=16 (a+b−4)(a+b+4)>=0 jendak nie wiem co ci to daje

Saizou : A jak chcesz wyjść od tezy, to przeprowadź dowod nie wprost. Zakładasz, że teza jest flaszywa i ja przekształcasz. Musisz dojść do jakiejś sprzeczność.

Saizou : @Filip a+b+4 jest zawsze dodatnie dla a.b >0czyli a+b − 4 ≥0

Filip: teza nie moze byc flaszywa

Saizou : To jest idea dowodu nie wprost, zamiast dowodzić twierdzenie postaci p→q, to równoważnie można pokazać ¬q →¬p

Filip: no wlasnie to mialem jakis czas temu i nadal tego nie zrozumialem jak to ma dzialac

Saizou : Założenia → teza (w normalnej postaci) Równoważnie: ¬ tezy (można ją przekształcać, staje się jakby założeniem) →¬założenia ( staje się tezą, czyli musimy dojść do sprzeczności)

Szkolniak: To w takim razie przy okazji może jeszcze podobny przykład: Udowodnij, że gdy a²+b²=8 oraz a,b≥0, to a+b≤4. Tutaj próbowałem podnosić znowu obustronnie do kwadratu, żeby móc wykorzystać tezę, że a²+b²=8, ale dochodzę do momentu, gdzie mam nierówność ab≤4, która nic mi nie daje i tak.. Macie jakiś pomysł?

julek: Z nierówności między średnimi kwadratową i arytmetyczną

	a2+b2		a+b
√		≥
	2		2

	a+b
2≥
	2

a+b≤4

chichi: Takie rozwiązania ponoć też dzisiaj przechodzą, jak pisała @Qulka. Natomiast rzecz jasna polecam sposób podany wyżej z wykorzystaniem nierówności Cauchy'ego między średnimi

Saizou : @chichi właśnie miałem to psiac, ale jestem na telefonie i strasznie długo mi schodzi pisanie, a o rysowaniu już nawet nie wspomnę.

chichi: Rzecz jasna nie chciało mi się już zaznaczać tego obszaru pod prostą b=4−a

chichi: Cześć @Saizou znam ten problem, dobrej nocy

Saizou : Skoro a i b ≥ 0, to b =√8−a²+założenie co do a, zadaj największą wartość funkcji f(a) = a +√8−a²

Saizou : @chichi dobrej nocki, ja też już się kładę.

F&M: @Szkolniak można i bez średnich: a,b ≥ 0

	1		1
8 = a2+b2 =		[(a+b)2 + (a−b)2] ≤		(a+b)2
	2		2

	1
8 ≤		(a+b)2 // *2
	2

16 ≤ (a+b)² a+b ≤ 4 c.k.d ====