Równania okręgów stycznych do prostej i przechodzących przez punkt P81: Napisz równania okręgów które są styczne do prostej y = 2x+1 oraz przechodzą przez punkt A(−3,6) który nie leży na prostej. Już rozwiązałem to zadanie i obliczenia w skrócie napiszę poniżej, lecz mam jedno pytanie. Środki okręgów : S(x₀, y₀ ), teraz znajdujemy równanie krzywej na której znajdują się te środki : √(x₀+3)²+(y₀−6)²=|2x₀−y₀+1|/√5 stąd równanie paraboli wyrażonej od x₀ i y₀ to x²₀ + 4x₀*y₀ + 4y²₀ + 26x₀ − 58y₀ + 224 = 0 stąd 1) y₀ = (−4x₀+58−√(−880x₀−220))/8 oraz 2) y₀ = (−4x₀+58+√(−880x₀−220))/8 gdzie x₀ ≤ −1/4 zatem równania tych okręgów to (x − x₀)² + (y − y₀)² = (x₀ + 3)² − (y₀ − 6)² , tylko trzeba podstawić y₀ I tutaj mam pytanie, żeby narysować w układzie współrzędnych tą parabolę x²₀ + 4x₀*y₀ + 4y²₀ + 26x₀ − 58y₀ + 224 = 0 to trzeba po prostu uzależnić ją od x i y zamiast x₀ i y₀ tak? Inaczej mówiąc trzeba tak zrobić, żeby mogła być ona przedstawiona dla dowolnego x i y, a nie dla x₀ i y₀ jako funkcja parametryczna, tak? https://www.desmos.com/calculator/wnl4mxyupm , i w taki sam sposób się postępuje mając np zadanie : Napisz równania okręgów przechodzących przez dwa punkty A(−2,3) oraz B(−5,−2) i stycznych do prostej y = 2x. I tutaj środki okręgów mają np takie współrzędne S(x_s, y_s) − żeby tutaj wyznaczyć prostą na której leżą środki można skorzystać z symetralnej odcinka AB lub z odległości środków od punktów A i B, więc √(5+xs)²+(2+ys)² = √(2+xs)²+ (3−ys)², stąd mamy że y_s = (−8−3x_s)/5 i tutaj też mimo że prosta zawiera x_s to żeby narysować ją, trzeba ją uzależnić od x i y, tak? ( tego zadania już nie będę tutaj dokańczał ) Proszę tylko o potwierdzenie czy dobrze myślę.

Get it back: Jako uczeń liceum skąd mam wiedziec ze x²₀+4x₀y₀+4y²₀+26x₀−58y₀+224=0 to równanie paraboli?

Mila: Get it back, to zadanie nie pochodzi ze zbioru zadań dla licealistów zatem nie martw się , że nie wiesz.

Get it back: Dziękuje. OK.

P81: @Mila odpowiedz na moje pytanie wyżej ok? I mam jeszcze jedno pytanie, które już zadawałem w jednym z postów, równie dobrze można na początku wyznaczając to równanie paraboli nie używać x₀ i y₀ tylko x i y a dopiero potem po wyznaczeniu y1 i y2 uzależnić jako współrzędną środka okręgu, prawda? Tzn wyznaczyć najpierw równanie paraboli dla dowolnego punktu x,y. I to nie robi różnicy

Mila: Można od razu zapisać S=(x,y) −wsp. środka okręgu, i ułożyć równanie: |PS|=d(S, k) , gdzie k to prosta. Naprawdę skomplikowałeś zadanie, tak dobrane dane powodują , że masz nieprzyjazne rachunki. Równanie zawiera składnik 4xy i bezpośrednio nie widać jaką krzywą przedstawia . Nie można też pogrupować tak, aby otrzymać kanoniczną postać równania krzywej. Należy dokonać obrotu układu. To też jest skomplikowane, okropne rachunki wychodzą. Znajdę stronę, na której te przekształcenia są opisane, to prześlę linka. Sporo dobrych stron z geometrii analitycznej zniknęło.

P81: Ok, dzięki za odpowiedź

Get it back: @Mila To rownanie x²+4xy+4y²+26x−58y+224=0 nie jest rownaniem paraboli Wyroznik (to co stoi przy xy do potegi drugiej odjac to co stoi przy x²* to co stoi przy y² jest >0 wiec Δ=4²−1*4=12>0 a to nie rowna sie 0 zeby krzywa opisana tym rownaniem byla typu parabolicznego

P81: @Mila Można od razu zapisać S=(x,y)... Ale mi chodzi nie o komplikacje rachunków, tylko o to że √(x0+3)²+(y0−6)²=|2x0−y0+1|/√5 stąd równanie krzywej opisane jest po prostu dla współrzędnych środka okręgu, a dla każdego x i y ma postać bez x₀ i y₀ czyli : x²+4xy+4y²+26x−58y+224=0, tak? Tak samo mając dwie proste ( zmyślam − np y = x oraz y = 2x+1 ) i jak się wyznacza dwusieczne to też się używa współrzędnych środka o współrzędnych np S(x₀, y₀ ) czyli mamy |−x₀+y₀|/√2 = |−2x₀ + y −1|/ √5 Stąd załóżmy ( zmyślam bo chce tylko wytłumaczyć mój problem ) równania dwusiecznych to y = −2x₀ i y= −x₀ +1 ale te dwusieczne dla każdego x i y mają równania też zamiast np y = −2x₀ i y = −x₀ +1 to mają równania y = −2x oraz y = −x+1, bo okrąg po prostu leży na danej dwusiecznej stąd w równaniu tej dwusiecznej x₀, ale odczytując to te dwusieczne same w sobie mają podstawowe równanie y = −2x i y = −x+1 I stąd moje pytanie, czy dobrze to rozumiem? Dochodząc do tego od drugiej strony, mając np prostą y = 3x na której leży okrąg świadczy o tym że równanie okręgu to np S ( x₀, 3x₀) ale prosta dla każdego x i y ma równanie y = 3x

P81: Przeczytaj proszę to i odpowiedz będę wdzięczny, bo mnie już coś trafia...

Mila: Pisałam, że tak. W układzie wsp. rysujemy wykresy funkcji. Tak krzywa nie jest wykresem funkcji, to parabola której osią symetrii jest prosta prostopadła do prostej y=2x+1 i przechodząca przez , bodajże S₁ ( z tamtej strony rysunek) . ICSP podał Ci ograniczenia , każda gałąź innym wzorem określona do narysowania krzywej w tradycyjnym układzie współrzędnych. Każdy punkt należący do krzywej jest środkiem okręgu stycznego do prostej k i przechodzi przez dany punkt (−3,6).

P81: Mogłabyś jeszcze rozwinąć to zdanie? "Ta krzywa nie jest wykresem funkcji, to parabola której osią symetrii jest prosta prostopadła... ". Z drugą częścią zdania, że osią symetrii tej paraboli jest prosta prostopadła do prostej y = 2x+1 to się zgadzam, ale co miałaś na myśli że ta krzywa ( parabola ) nie jest wykresem funkcji − chodziło Ci o tą parabolę ale w postaci równania z x₀ i y₀ jako krzywą parametryczną? Czy?

wredulus_pospolitus: "Ta krzywa NIE JEST wykresem funkcji" ponieważ: niech x = −1 wtedy mamy: 1 −4y +4y² −26 −58y +224 =0 −−> 4y² − 62y + 199 = 0 Δ_y = 62² − 16*199 = 660 > 0 czyli dla danego argumentu (x = −1) 'funkcja' przyjmowałaby dwie różne wartości = to NIE JEST funkcja