Trójkąt
Fineasz: Wykaż, że jeżeli a, b, c są długościami boków trójkąta, to a4+b4+c4<2(a2b2+b2c2+a2c2).
6 kwi 13:46
grochowski.przemek:
a
2=b
2+c
2−2bccosγ
2bccosγ=b
2+c
2−a
2
2bc>b
2+c
2−a
2
analogicznie wyznaczamy pozostałe nierówności, zatem
2bc>b
2+c
2−a
2
2ab>a
2+b
2−c
2
2ac>a
2+c
2−b
2
podnosimy obie strony do kwadratu
4b
2c
2>b
4+c
4+a
4−2b
2a
2−2c
2a
2+2b
2c
2
4a
2b
2>b
4+c
4+a
4−2c
2a
2−2b
2c
2+2b
2a
2
4a
2c
2>a
4+c
4+a
4−2b
2a
2−2b
2c
2+2c
2a
2
dodajemy stornami i otrzymujemy:
4b
2c
2+4a
2b
2+4a
2c
2>3a
4+3b
4+3c
4−2b
2c
2−2a
2b
2−2a
2c
2
przenosimy na jedną stronę i dzielimy przez 3 otrzymując szukaną tezę
6 kwi 15:22
Fineasz: Dzięki
6 kwi 15:42
jc: Nie zmniejszając ogólności możemy założyć, że a≥b≥c≥0.
a < b + c, nierówność trójkąta
0 ≤ a−b < c
(a−b)2 <c2
0 < a2+b2 −c2 < 2ab
(a2+b2 −c2)2 < (2ab)2
liczysz kwadrat i przenosisz część wyrazów na lewą stronę
a4+b4+c4 < 2(a2+b2+c2)
6 kwi 22:32
Get it back: 2bc cosγ=b2+c2−a2
2bc > b2+c2−a2
Proszę o wyjaśnienie tak po chlopsku co tutaj się stało (dlaczego zginąl cosγ?)
6 kwi 22:38
jc: ... na prawą stronę ....
Get it back, cos γ < 1, 2bc > 0 dlatego 2bc cos γ < 2bc
6 kwi 23:04
Get it back: Ok. Rozumiem już.
6 kwi 23:08