Czy sin^2 2x + cos^2 2x jest jedynką trygonometryczną ? tomek: Czy sin² 2x + cos² 2x jest jedynką trygonometryczną ?

Qulka: tak

tomek: Dzięki, już o tej godzinie to miałem dziwny pomysł że chyba jednak nie jest

Filip: trzeba to udowodnic − bardzo prosto niech sin2x=a/c cos2x=b/c sin²2x+cos²x=a²/c²+b²/c²=(a²+b²)/c²=(a²+b²)/(a²+b²)=1, boa²+b²=c²

Saizou : Panie Filipie a co dla c = 0 i skąd równość, że c² = a² + b² (przecież wzór jedynkowy jest prawdziwy dla każdego kąta α, nie tylko dla kątów ostrych)

Jerzy: To jest poprawny dowód. W kole trygonometrycznym wykorzystuje on trójkąt prostokątny oraz twierdzenie Pitagorasa. https://pl.wikipedia.org/wiki/Jedynka_trygonometryczna

Filip: Panie Saizou, a,b,c to boki trojkata prostokatnego, ktory od podstawy oznaczay kolejno b−>a−>c stad mamy sinα=a/c cosα=b/c i z pitagorsa rownosc c²=a²+b², a,b,c>0 i udowodnilisy to dla α∊(0, 45) natomiast przykladowo mozna wykazac jeszcze dla innych katow, przyklad: sin(α+π)=−sinα cos(α+π)=−cosα sin(−α)=−sinα cos(−α)=cosα no i kwesta formalna sin²(α+π)+cos²(α+π)=(−sinα)²+(−cosα)²=sin²α+cos²α=1 Natomiast mozna to udowodnic nieco inaczej: uzywamy wzory na okrag x²+y²=r² teraz wiemy, ze mozemy zapisac x=rcosα y=rsinα nastepnie podstawiajac do wzoru x²+y²=r² otrzymujemy nastepujaco r²cos²α+r²sin²α=r² | /r² (r!=0) cos²α+sin²α=1 −> dostajemy teze

Mila: sin²(α)+cos²(α)=1 jest prawdą dla każdego kąta α. zatem również dla α=2x

tomek: Chodziło mi tylko o potwierdzenie ale dzięki za tak rozszerzoną odpowiedz