całki wymierne Witam: Witam! mam problem z całką wymierną

4
	dx
(x2+2)2

nie mam pomysłu jak zrobić tę całkę bardzo dziękuje za wszelką pomoc

Mariusz: Wzór redukcyjny lub wydzielenie części wymiernej całki

	4		A1x+A0		B1x+B0
∫		dx=		+∫		dx
	(x2+2)2		x2+2		x2+2

O wydzieleniu części wymiernej całki możesz sobie poczytać u Fichtenholza Jeśli chodzi o wzór redukcyjny to zapisujesz licznik w ten sposób aby po rozbiciu na sumę dwóch całek w jednej licznik skrócił się z mianownikiem oraz aby tę drugą całkę wygodnie było liczyć przez części

Filip: tu można wzór Ostrogradskiego zastosować

	4		A0x+A1		B0x+B1
∫		dx=		+∫		dx i rozniczkujemy stronami
	(x2+2)2		x2+2		x2+2

4		A0(x2+2)−2x(A0x+A1)		(B0x+B1)(x2+2)
	=		+
(x2+2)2		(x2+2)2		(x2+2)2

4=A₀x²+2A₀−2A₀x²−2A₁x+B₀x³+B₁x²+2B₀x+2B₁ teraz wystarczy uporzadkowac 0=B₀x³+(−A₀+B₁)x²+(−2A₁+2B₀)x+2B₁+2A₀−4 i widać, że B₀=0 A₁=0 B₁=A₀ B₁+A₀=2 => A₀=1 i B₁=1 wiec calke mozemy zapisac jako:

	4		x		1
∫		dx=		+∫		dx
	(x2+2)2		x2+2		x2+2

pozostala nam prosta calka:

	1		1		x
∫		dx=		arctg(		)+C
	x2+2		√2		√2

wiec

	4		x		1		x
∫		dx=		+		arctg(		)+C
	(x2+2)2		x2+2		√2		√2

i to jest koncowy wynik

Filip: Czy jest on poprawny − raczej tak, jednak poczekaj, moze Mariusz zweryfikuje bo to On mnie uczyl tego sposobu

Jerzy: https://www.symbolab.com/solver/step-by-step/%5Cint%20%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Cleft(x%5E%7B2%7D%2B2%5Cright)%5E%7B2%7D%7Ddx

Mariusz: Filip powinno być ok Co do tego amerykańskiego sposobu przedstawionego w "pokaż kroki" to go nie lubię , wolę stosować wzór redukcyjny bądź wydzielenie części wymiernej całki metodą Ostrogradskiego O ile podstawienia cyklometryczne można zaakceptować jako alternatywę dla podstawień Eulera to tutaj całkowanie funkcji wymiernych wprowadza się zwykle wcześniej niż całkowanie funkcyj trygonometrycznych więc stosowanie go tutaj to kiepski pomysł

Mariusz: Filip chcesz całkę do policzenia ?

	3r12x2−x4
∫		dx
	√r22−x2(r12−x2)

r₁>0 , r₂ > 0 , r₁ > r₂ (Jeżeli od razu zastosujesz podstawienie Eulera to będziesz miał sporo współczynników ale jeśli najpierw pobawisz się trochę funkcją podcałkową to po podstawieniu Eulera będziesz miał znacznie mniej współczynników)

Filip: widze, w mianowniku pod pierwiastkiem mamy r₂²−x²?

Mariusz: Tak, na marginesie dodam że całka powstała podczas liczenia całki iterowanej Możesz od razu zastosować podstawienie Eulera aby zobaczyć jaką całkę dostaniesz jednak mniej liczenia będziesz miał jeśli najpierw pobawisz się funkcją podcałkową

jc: Mariusz, kilka dni temu w jakiś notatkach znalazłem uwagę, że całkę

	dx dy
∫−11∫−11		można policzyć w pamięci, niestety nie zapisałem
	(1+x2+y2)3/2

w jaki sposób. Zrozumiałem po kilku godzinach. Czy potrafisz podać wynik bez rachunków?

Mariusz: Serio można bez liczenia Ja bym dwa razy pierwsze podstawienie Eulera dał (to ze współczynnikiem wiodącym trójmianu kwadratowego) i nawet nie byłoby aż tak dużo liczenia

	2π
Wyszło mi		na trzech stronach A4
	3

(przy czym trochę mi zajęło upraszczanie funkcji pierwotnej)

jc: Dobry wynik. Rozważamy pole (poza punktem (0,0,0)

	x		x		x
E(x,y,a)=(		,		,		)
	√x2+y2+z2		√x2+y2+z2		√x2+y2+z2

Strumień przez sferę o środku w (0,0,0) jest oczywisty, to 4π. Taki sam strumień będzie przechodził przez sześcian o boku 2 i środku w punkcie (0,0,0). Nasza całka = strumień przez ścianę[−1,1] x [−1,1]x{0,0,1} = 1/6 strumienia rzez cały sześcian, czyli 4π/6 = 2π/3.

Dante: Hej jc mógłbyś powiedzieć co i gdzie studiowałeś?

jc: Fizyka, Uniwersytet Wrocławski

Mariusz: Gdyby chciał tę całkę co podał jc liczyć to tutaj kolejność całkowania nie ma znaczenia

	dx
∫−11
	(1+x2+y2)3/2

√1+x²+y²=t−x przy x→1 t→1+√2+y² przy x→−1 t→−1+√2+y² √1+x²+y²=t−x 1+x²+y²=t²−2tx+x² 1+y²=t²−2tx 2tx=t²−1−y²

	t2−1−y2
x=
	2t

	2t2−(t2−1−y2)
√1+x2+y2=t−x=
	2t

	t2+1+y2
√1+x2+y2=
	2t

	2t*2t−2(t2−1−y2)
dx=		dt
	4t2

	2t2+2+2y2
dx=		dt
	4t2

	t2+1+y2
dx=		dt
	2t2

	8t3		t2+1+y2
∫−1+√2+y21+√2+y2		*		dt=
	(t2+1+y2)3		2t2

	4t
∫−1+√2+y21+√2+y2		dt
	(t2+1+y2)2

−2
	|−1+√2+y21+√2+y2
t2+1+y2

−2		(−2)
	−
(1+√2+y2)2+1+y2		(−1+√2+y2)2+1+y2

	1		1
=−2(		−
	1+2+y2+1+y2+2√1+y2		1+2+y2+1+y2−2√2+y2

	1		1
=−2(		−		)
	4+2y2+2√1+y2		4+2y2−2√2+y2

	1		1
=(		−		)
	2+y2−√2+y2		2+y2+√2+y2

	(2+y2+√2+y2)−(2+y2−√2+y2)
=
	(2+y2)2−(2+y2)

	2√2+y2
=
	y4+3y2+2

	2√2+y2
=
	(y2+1)(y2+2)

	2
=
	(y2+1)√y2+2

	2
∫−11		dy
	(y2+1)√y2+2

√y²+2=t−y przy y→1 t→1+√3 przy y→−1 t→−1+√3 √y²+2=t−y y²+2=t²−2ty+y² 2=t²−2ty 2ty=t²−2

	t2−2
y=
	2t

	2t2−(t2−2)
√y2+2=t−y=
	2t

	t2+2
√y2+2=
	2t

	2t*2t−2(t2−2)
dy=		dt
	4t2

	2t2+4
dy=		dt
	4t2

	t2+2
dy=		dt
	2t2

	(t2−2)2
1+y2=1+
	4t2

	4t2+t4−4t2+4
1+y2=
	4t2

	t4+4
1+y2=
	4t2

	4t2	2t	t2+2
2∫−1+√31+√3				dt
	t4+4	t2+2	2t2

	8t
∫−1+√31+√3		dt
	t4+4

2u=t² gdy t→−1+√3 u→2−√3 gdy t→1+√3 u→2+√3 2du=2tdt du=tdt

	8
∫2−√32+√3		du
	4u2+4

	2
∫2−√32+√3		du
	u2+1

=2arctg(u)|_2−√3^2+√3 =2arctg(2+√3)−2arctg(2−√3)

	5π		π
=2*		−2*
	12		12

	5π		π
=		−
	6		6

	4π
=
	6

	2π
=
	3