Czy macie pomysł na to równanie różniczkowe? Bartek: Czy macie pomysł jak obliczyć to równanie różniczkowe metodą przewidywań? y'' − 2y' + y = (x² + 2x + 2) / x³

Mariusz: Metodą przewidywań chcesz ? Tutaj chyba lepiej sprawdzi się uzmiennianie stałych

Mariusz: Równanie jednorodne rozwiązujesz próbując rozwiązanie y₁=e^λx Powinieneś dostać dwa rozwiązania szczególne tworzące układ fundamentalny równania jednorodnego λ²e^λx−2λe^λx+e^λx=0 (λ²−2λ+1)e^λx=0 λ²−2λ+1=0 (λ−1)²=0 λ−1=0 Układ fundamentalny równania jednorodnego tworzą następujące całki szczególne y₁(x)=e^x oraz xe^x Zakładasz że rozwiązanie równania niejednorodnego jest postaci y_s=C₁(x)e^x+C₂(x)xe^x Teraz możesz wstawić przewidywaną postać rozwiązania do równania i obliczyć C₁(x) oraz C₂(x) Sprowadzi się to do rozwiązania układu równań C₁'(x)e^x+C₂'(x)xe^x=0

	x2+2x+2
C1'(x)ex+C2'(x)(x+1)ex=
	x3

C₁'(x)e^x=−C₂'(x)xe^x

	x2+2x+2
−C2'(x)xex+C2'(x)(x+1)ex=
	x3

	x2+2x+2
C2'(x)(x+1−x)ex=
	x3

	x2+2x+2
C2'(x)ex=
	x3

	x2+2x+2
C2'(x)=		e−x
	x3

	x2+2x+2
C1'(x)=−		e−x
	x2

	x2+2x+2		e−x		2		2
∫		e−xdx=∫		dx+∫		e−xdx+∫		e−xdx
	x3		x		x2		x3

	2		e−x		1
∫		e−xdx=−		−∫		(e−x)dx
	x3		x2		x2

	2		e−x		1
∫		e−xdx=−		−∫		(e−x)dx
	x3		x2		x2

	2		2		e−x		1
∫		e−xdx+∫		e−xdx=−		+∫		(e−x)dx
	x3		x2		x2		x2

	2		2		e−x		e−x		e−x
∫		e−xdx+∫		e−xdx=−		+(−		−∫		dx)
	x3		x2		x2		x		x

	2		2		e−x		e−x		e−x
∫		e−xdx+∫		e−xdx=−		−		−∫		dx
	x3		x2		x2		x		x

	2		2		e−x		e−x		e−x
∫		e−xdx+∫		e−xdx+∫		dx=−		−		+C
	x3		x2		x		x2		x

	(x+1)
C2(x)=−		e−x
	x2

	x2+2x+2
C1'(x)=−		e−x
	x2

	2		2
∫(−1−		−		)e−xdx
	x		x2

	2		2
∫−e−xdx−∫		e−xdx−∫		e−xdx
	x		x2

	2		2		2
−∫		e−xdx=		e−x−∫		(−e−x)dx
	x2		x		x

	2		2		e−x
−∫		e−xdx=		e−x+2∫		dx
	x2		x		x

	2		2		2
−∫		e−xdx−∫		e−xdx=		e−x
	x2		x		x

	2		2		2
∫(−1−		−		)e−xdx=e−x+		e−x
	x		x2		x

	2		2		x+2
∫(−1−		−		)e−xdx=		e−x
	x		x2		x

	x+2
C(1)(x)=		e−x
	x

	x+2		(x+1)
ys=(		e−x)ex+(−		e−x)xex
	x		x2

	x+2		x+1
ys=		−
	x		x

	1
ys=
	x

Całka ogólna równania jednorodnego to y_j=C₁e^x+C₂xe^x Całka szczególna równania niejednorodnego to

	1
ys=
	x

Całka ogólna równania niejednorodnego jest sumą całki ogólnej równania jednorodnego oraz całki szczególnej równania niejednorodnego

	1
y=C1ex+C2xex+
	x