kolejna całka tryg. potworek44: Dobry wieczór mam problemy z taką całką, może nie tyle problemy co pakuje mnie to w bardzo, bardzo długie całkowanie i zastanawiam się czy istnieje jakiś prostszy sposób na tę całkę, którego nie znam.

	1		sin2x+cos2x		1		1
∫		dx=∫		dx=∫		dx+∫		dx=
	sin2xcos3x		sin2xcos3x		cos3x		sin2xcosx

	1		sin2x+cos2x		1		1
=∫		dx+∫		dx=∫		dx+∫		dx+
	cos3x		sin2xcosx		cos3x		cosx

	cosx
+∫		dx I teraz liczyć te wszystkie całki po kolei?
	sin2x

chichi:

	1
Nieco pracy przy ∫		dx, te pozostałe dwie całki rozwiązują się błyskawicznie, ale
	cos3(x)

może poczekaj na weteranów rachunku całkowego, ja jestem dopiero początkujący

Mariusz:

	1		cosx
∫		dx=∫		dx
	sin2xcos3x		sin2xcos4x

	cosx
=∫		dx
	sin2x(1−sin2x)2

	1
t=
	sinx

	cosx
dt=−		dx
	sin2x

	1
sinx=
	t

	1
−∫		dt
	1   (1− )2   t2

	1
=−∫		dt
	t2−1   ( )2   t2

	t4
=−∫		dt
	(t2−1)2

A to można liczyć przez części i dopiero rozkładać na sumę ułamków prostych chichi w sieci możesz za darmo poczytać takie książki jak http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/rachunek2.pdf http://matwbn-old.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=15&wyd=10&jez=pl a jeśli masz dostęp do biblioteki to sprawdź takie książki jak G.M Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy albo F Leja Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych

Mariusz:

	1
Jak już tak rozłożyłeś tę całkę to do całki ∫		dx
	cos3x

mogłeś zastosować ten sam pomysł co na początku Można też wyprowadzić wzór redukcyjny dla ∫cosⁿxdx dla n ∊ ℤ ∫cosⁿxdx=∫cosxcosⁿ⁻¹xdx ∫cosⁿxdx=sinxcosⁿ⁻¹x−∫sinx((n−1)cosⁿ⁻²x(−sinx))dx ∫cosⁿxdx=sinxcosⁿ⁻¹x+(n−1)∫cosⁿ⁻²xsin²xdx ∫cosⁿxdx=sinxcosⁿ⁻¹x+(n−1)∫cosⁿ⁻²x(1−cos²x)dx ∫cosⁿxdx=sinxcosⁿ⁻¹x+(n−1)∫cosⁿ⁻²xdx−(n−1)∫cosⁿxdx (1+(n−1))∫cosⁿxdx=sinxcosⁿ⁻¹x+(n−1)∫cosⁿ⁻²xdx n∫cosⁿxdx=sinxcosⁿ⁻¹x+(n−1)∫cosⁿ⁻²xdx

	1		n−1
∫cosnxdx=		sinxcosn−1x+		∫cosn−2xdx n≥2
	n		n

Niech n−2=−m, wtedy n=−m+2,n−1=−m+1

	1		m−1
∫cos−(m−2)xdx=−		sinxcos−(m−1)x+		∫cos−mxdx
	m−2		m−2

	1		1	sinx		m−1		1
∫		=−			+		∫		dx
	cosm−2xdx		m−2	cosm−1x		m−2		cosmx

m−1		1		1		1	sinx
	∫		dx=∫		+
m−2		cosmx		cosm−2xdx		m−2	cosm−1x

	1		1	sinx		m−2		1
∫		dx=			+		∫
	cosmx		m−1	cosm−1x		m−1		cosm−2xdx

Dla n=0 ∫cos⁰xdx=x+C Dla n=1 ∫cosxdx=sinx+C Dla n=−1

	1		1
∫		dx=∫		dx
	cosx		π   sin( +x)   2

	1		1
∫		dx=∫		dx
	cosx		π   x   π   x   2sin( + )cos( + )   4   2   4   2

	1		1
∫		dx=∫		dx
	cosx		π   x   π   x   2tg( + )cos2( + )   4   2   4   2

	π		x
t=tg(		+		)
	4		2

	1	1
dt=			dx
	π   x   cos2( + )   4   2	2

	1
∫		dt=ln|t|+C
	t

	1		π		x
∫		dx=ln|tg(		+		)|+C
	cosx		4		2

∫cos⁰xdx=x+C ∫cosxdx=sinx+C

	1		π		x
∫		dx=ln|tg(		+		)|+C
	cosx		4		2

	1		n−1
∫cosnxdx=		sinxcosn−1x+		∫cosn−2xdx n≥2
	n		n

	1		1	sinx		m−2		1
∫		dx=			+		∫		dx m≥2
	cosmx		m−1	cosm−1x		m−1		cosm−2x

chichi: Cześć @Mariusz korzystam własnie z podręczników Fichtenholza, dziękuję przejrzę z pewnością pdfy

Mariusz: Fichtenholz jest dobry na początek a te pdf podałem bo nie wiedziałem czy masz dostęp do biblioteki Ze zbiorów zadań warty polecenia jest W Krysicki L Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach

chichi: Tak korzystam z niego, mam też Gewerta Skoczylasa i tak sobie robię raz tu, raz tu, a jaki zbiór zadań byś jeszcze polecił, prócz tych wymienionych? A może Ty potworek44 korzystasz z jakiegoś innego zbioru?

Mariusz: Co do innych to nie wiem czy jakiś byłby godny polecenia Może jakiś rosyjski gdzieś znajdziesz przetłumaczony na polski np Demidowicza czy Bermana

daras: http://www.wydawnictwopw.pl/index.php?s=wyniki&rodz=12&id=2853 poza tym zeszyty BOM=Biblioteczki Opracowań Matematycznych: Zeszyt 1 − 210 całek nieoznaczonych z pełnymi rozwiązaniami Z5− 105 przykładów zastosowań całki oznaczonej z pełnymi rozwiązaniami i.in C.Obczyński, R.Kowalczyk, K.Niedziałomski − Całki , metody rozwiązywania zadań, z płytą CD, wyd. PWN 2012

chichi: Dziękuję @Mariusz i @daras zaopatrzę się w któryś z tych zbiorów