algebra liniowa salamandra: 12. Wyznacz równanie parametryczne prostej będącej prostą wspólną płaszczyzn 2x + y − z + 3 = 0 oraz z + x + 3 = 0. Jak się za to zabrać?

ABC: można tak 2x−z=−3−y x+z=−3 dodajesz stronami 3x=−6−y x=−y/3 − 2 z=−3−x= −3+y/3+2=y/3−1 i przyjmujesz y jako parametr na przykład t

salamandra: mam jedno rozwiązanie, jednak nie do końca wiem, o co w nim chodzi. 2x+y−z+3=z+x+3 v₁=[2,1,−1] v₂=[1,0,1] 2x+y−z+3=z+x+3 x+y−2z=0 v₃=[1,1,−2] v₃ ⊥ = [1,1,1] x=t[1,1,1] x=t y=t z=t Nie do końca wiem, po co ten wektor prostopadły do v₃ i jak go w ogóle obliczyć?

salamandra: A w sieci natrafiłem się jeszcze na inne rozwiązanie takiego zadania. 1) liczę v₁*v₂ i otrzymuje wektor kierunkowy szukanej prostej: [1,−3,−1] 2) wstawiam za z=0 liczę układ równań z dwiema niewiadomymi (szukam punktu wspólnego dwóch płaszczyzn i zarówno tej prostej) 2x+y+3=0 x+3=0 ⇒ x=−3 y=3 P=(−3,3,0) równanie prostej: (−3,3,0)+t[1,−3,−1] w postaci parametrycznej: x=−3+t y=3−3t z=−t No i teraz pytanie, w którym rozwiązaniu jest błąd, bo np. w pierwszym rozwiązaniu można zauważyć, że do prostej należy punkt np. (1,1,1), a w tym drugim to nie wychodzi.

ABC: to ostatnie wygląda ok

salamandra: W takim razie w pierwszym może być pomyłka? Zdaje się, że tam też jest szukany końcowo ten punkt (0,0,0), ale nie wiem, po co to przyrównywanie dwóch płaszczyzn, ale przede wszystkim − po co ten wektor prostopadły do v₃? Lepiej o tym zapomnieć i skupić się na tym drugim sposobie?

ABC: namącone jest w tym pierwszym ale nie chce mi się tłumaczyć

salamandra: ok, tyle mi wystarczy