optymalizacja ola: irma logistyczna planuje produkcję pojemników w kształcie graniastosłupa prostego o objętości 3 m 3 i podstawie będącej prostokątem, w którym jeden z boków jest 4 razy dłuższy od drugiego. Koszt materiału potrzebnego do produkcji ścian bocznych tego pojemnika wynosi 40 zł za m 2 , a koszt materiału potrzebnego do produkcji jego górnej i dolnej podstawy wynosi 60 zł za m 2 . Oblicz jakie powinny być wymiary tego pojemnika, aby koszt jego produkcji był najmniejszy możliwy.

Serducho: V = 3m³ Wiemy, że jeżeli jedna z krawędzi podstawy ma długość x, a druga jest od niej cztery razy dłuższa, więc ta druga krawędź będzie wynosiła 4x. Wysokość graniastosłupa to h (jak na rysunku). h można policzyć ze wzoru V/P_p = 3m³/4x² Chcemy by pojemnik wykonany z graniastosłupa o długościach x, 4x, h (co równe jest x, 4x, 3m³/4x²), którego objętość jest równa 3m³, miał jak najniższy koszt. Do obliczenia ceny pojemnika trzeba znać pole boczne (P_b) i dwa pola podstawy (P_p) 2 * P_p * 60zł/m² = 2 * 4x m * x m * 60zł/m² = 480x² zł Pb = (2 * 4x m * h m + 2 * x m* h m) * 40zł/m² = (10x * h) *40zł = 10x * 3/4x² *40zł = 300/x zł P(x) = 480x² + 300/x zł x>0 Liczymy pochodną P'(x) = 960x − 300/x 960x − 300/x > 0 /*x² :10 96x³ − 30x > 0 / :3 32x³ − 10x > 0 32x * (x² − 10/32) > 0 32x (x + √5/4)(x − √5/4) > 0 x=0 x= −√5/4 x = √5/4 Rysujemy wykres, co ważne najwyższa potęga jest dodatnia: (nie wiedziałem jak w rysunku wprowadzić liczby i wprowadziłem x1 dla −√5/4 i x2 dla √5/4. Pochodna P'(x) jest niższa od zera dla przedziału x∊(0;√5/4), czyli funkcja P(x) maleje w przedziale x∊(0;√5/4) W takim razie P_min dla x = √5/4, wtedy cena pojemnika będzie najniższa. x = √5/4 h = 3/[4(√5/4)²] = 3 / 20 * 16 = 12/5 Odp./ x = √5/4 h = 12/5

Jakub: W poprzednim rozwiązaniu źle policzona została pochodna i dalej też już jest źle. Powinno być.

	300		960x3 − 300
Liczymy pochodną P'(x) = 960x −		=
	x2		x2

Szukamy miejsc zerowych pochodnej czyli w tym przypadku miejsc zerowych licznika. 960x³ − 300 = 0 960x³ = 300 /:960

	300		10		5
x3 =		=		=
	960		32		16

x₁ = ³√5/16 = ¹₂³√5/2

	960x3 − 300
Rysujemy przybliżony wykres pochodnej P'(x) =
	x2

Na znak pochodnej ma wpływ jedynie licznik, ponieważ mianownik x² wokół x₁ jest dodatni. Jak widać na rysunku pochodna jest ujemna po lewej stronie x₁, więc funkcja maleje, w x₁ pochodna jest równa 0, a po prawej jest dodatnia, czyli funkcja rośnie. Funkcja P(x) ma w x₁ = ¹₂³√5/2 minimum, czyli dla tej wartości koszty produkcji pojemnika są najmniejsze. Pozostałe wymiary pojemnika 4x₁ i h = 3/4x₁² już łatwo policzyć.