algebra liniowa kasia0498: Czy mógłby ktoś udzielić mi odpowiedzi na parę pytań z egzaminu, z którymi sobie nie poradziłam? 1. Podaj definicję pełnej grupy liniowej stopnia n nad ciałem K. 2.Kiedy mówimy, że wektor x∊V(K) wyraża się liniowo przez układ wektorów (x_i)₁ⁿ⊂V(K)? 3.Uzasadnij, że jeśli przestrzeń liniowa V ma bazę złożoną z n elementów, to każda inna baza tej przestrzeni też ma n elementów. 4. Podaj kryteria liniowej zależności wektorów.

Adamm: 1. Macierze odracalne n x n nad ciałem K 2. Istnieją a_i że x = ∑ a_ix_i 3. 4. a₁x₁+...+a_nx_n = 0 przy czym pewien a_i ≠ 0 Jeden z x_i jest kombinacją liniową pozostałych

chichi: 3. Bezpośredni wniosek płynący z twierdzenia Steinitza

chichi: Dowód: Niech układ (e_i)₁ⁿ stanowi bazę przestrzeni V. Jak wynika z twierdzenia Steinitza, żaden liniowo niezależny układ wektorów nie może składać się z większej liczby wektorów niż n. Zatem przestrzeń V nie może mieć bazy skończonej. Jeśli zaś (g_j)₁ⁿ jest bazą skończoną przestrzeni V, to s=n, ponieważ (x_i)₁^r∼(y₁)₁^s i każdy z tych układów jest niezależny, wówczas (x_i)₁^r<(y_i)₁^s ∧ (y₁)₁^s<(x_i)₁^r ⇒ r≤s ∧ s≤r ⇒r=s ⬠ Symbol "<" czytać jako "wyraża się liniowo", gdyż zabrakło odpowiedniego symbolu na stronie

kasia0498: Dzięki za odpowiedzi. 1,2 i 4 proste w sumie, ale 3 to nie dla mnie