całka trygonometryczna potworek44: ∫sin⁴xcos²x dx

	1		1
sin4x=(		(1−cos2x))2=		(1−cos2x+cos22x)
	2		4

	1		1
sin4xcos2x=		(1−cos2x+cos22x)*		(cos2x+1)=
	4		2

	1
=		(cos2x+1−2cos22x−2cos2x+cos32x+cos22x)=
	8

	1
=		(cos32x−cos2x−cos2x+1)
	8

	1		1
I=∫sin4xcos2x dx=		∫(cos32x−cos2x−cos2x+1)dx=		∫(cos32x−cos2x−cos2x+1)dx=
	8		16

	1		1		1		1
=		∫cos32x dx −		∫cos22x dx −		∫cos2x dx +		∫ dx
	16		16		16		16

Osobne liczę całki:

	dt		1
1. ∫cos3x dx=∫cosx*cos2x dx=|t=sinx, dt=cosx dx,		=dx|=∫(1−t2)dt=t−		t3=
	cosx		3

	1
=sinx−		sin3x+C1
	3

	1		1		1
2. ∫cos2x dx=		∫(cos2x+1)dx=		sin2x+		x+C2
	2		4		2

3. ∫cosx dx=sinx+C₃ 4. ∫ dx=x+c₄

	1		1		1		1		1		2
I=		(sin2x−		sin32x+C1)−		(		sin4x+x+C2)−		(sin2x+C3)+		x
	16		3		16		4		16		16

	1		1		1		1		1		2
I=		sin2x−		sin32x−		sin4x−		x−		sin2x+		x+C
	16		48		64		16		16		16

	1		1		1
I=		x−		sin4x−		sin32x+C
	16		64		48

Przepisałem tutaj swoje rozwiązanie bo sam uczę się całek i nie ma mi kto sprawdzić. Czy mógłbym kogoś tutaj prosić? Wiem że tego tekstu jest bardzo dużo ale może ktoś przeczyta i oceni byłbym dozgonnie wdzięczny. A może jest łatwiejszy sposób na wyznaczenie tej całki? Dziękuję wszystkim za pomoc w poprzedniej całce i dobrej nocy życzę.

chichi:

	cos(4x)+1
3 linijka cos2(2x)=		, a później skorzystać ze wzoru:
	2

	x+y		x−y
cos(x)+cos(y)+2cos(		)cos(		)
	2		2

Wybacz, ale za późno żebym to sprawdził. Padam z sił, poczekaj do rana

Mariusz: Można też przez części + jedynka trygonometryczna ∫sin⁴xcos²xdx=∫sin⁴x(1−sin²x)dx= ∫−sin⁶xdx+∫sin⁴xdx ∫−sin⁶xdx=∫(−sinx)sin⁵xdx ∫−sin⁶xdx=cosxsin⁵x−∫cosx(5sin⁴xcosx)dx ∫−sin⁶xdx=cosxsin⁵x−5∫sin⁴xcos²xdx ∫−sin⁶xdx=cosxsin⁵x−5∫sin⁴x(1−sin²x)dx ∫−sin⁶xdx=cosxsin⁵x−5∫sin⁴x+5∫sin⁶xdx ∫−sin⁶xdx=cosxsin⁵x−5∫sin⁴x−5∫−sin⁶xdx 6∫−sin⁶xdx=cosxsin⁵x−5∫sin⁴xdx

	1		5
∫−sin6xdx=		cosxsin5x−		∫sin4xdx
	6		6

	1		1
∫−sin6xdx+∫sin4xdx=		cosxsin5x+		∫sin4xdx
	6		6

∫sin⁴xdx=∫sinxsin³xdx ∫sinxsin³xdx=−cosxsin³x−∫(−cosx)3sin²xcosxdx ∫sin⁴xdx=−cosxsin³x+3∫sin²xcos²xdx ∫sin⁴xdx=−cosxsin³x+3∫sin²x(1−sin²x)dx ∫sin⁴xdx=−cosxsin³x+3∫sin²xdx−3∫sin⁴xdx 4∫sin⁴xdx=−cosxsin³x+3∫sin²xdx

	1		3
∫sin4xdx=−		cosxsin3x+		∫sin2xdx
	4		4

∫sin²xdx=∫sinxsinxdx ∫sin²xdx=−cosxsinx−∫(−cosx)cosx ∫sin²xdx=−cosxsinx+∫cos²xdx ∫sin²xdx=−cosxsinx+∫(1−sin²x)dx ∫sin²xdx=−cosxsinx+∫dx−∫sin²xdx 2∫sin²xdx=−cosxsinx+x

	1		1
∫sin2xdx=−		cosxsinx+		x
	2		2

	1		3		1		1
∫sin4xdx=−		cosxsin3x+		(−		cosxsinx+		x)
	4		4		2		2

	1		3		3
∫sin4xdx=−		cosxsin3x−		cosxsinx+		x
	4		8		8

	1		1		1		3		3
∫−sin6xdx+∫sin4xdx=		cosxsin5x+		(−		cosxsin3x−		cosxsinx+		x)+C
	6		6		4		8		8

	1		1		1		1
∫−sin6xdx+∫sin4xdx=		cosxsin5x−		cosxsin3x−		cosxsinx+		x+C
	6		24		16		16

Oczywiście mógłbyś sobie wyprowadzić wzór redukcyjny np na ∫sinⁿxdx ∫sinⁿxdx=∫sinxsinⁿ⁻¹xdx ∫sinⁿxdx=−cosxsinⁿ⁻¹x−∫(−cosx)((n−1)sinⁿ⁻²xcosx)dx ∫sinⁿxdx=−cosxsinⁿ⁻¹x+(n−1)∫sinⁿ⁻²xcos²xdx ∫sinⁿxdx=−cosxsinⁿ⁻¹x+(n−1)∫sinⁿ⁻²x(1−sin²x)dx ∫sinⁿxdx=−cosxsinⁿ⁻¹x+(n−1)∫sinⁿ⁻²xdx−(n−1)∫sinⁿdx (1+(n−1))∫sinⁿxdx=−cosxsinⁿ⁻¹x+(n−1)∫sinⁿ⁻²xdx n∫sinⁿxdx=−cosxsinⁿ⁻¹x+(n−1)∫sinⁿ⁻²xdx

	1		n−1
∫sinnxdx=−		cosxsinn−1x+		∫sinn−2xdx
	n		n

Masz wzór redukcyjny dla n∊ℕ ∫sin⁰xdx=x+C ∫sinxdx = −cosx+C

	1		n−1
∫sinnxdx=−		cosxsinn−1x+		∫sinn−2xdx , n≥2
	n		n

Jeżeli chciałbyś mieć wzór dla n∊ℤ to wystarczy przekształcić wzór redukcyjny

	1		n−1
∫sinnxdx=−		cosxsinn−1x+		∫sinn−2xdx
	n		n

	1
oraz policzyć całkę ∫		dx
	sinx

Mariusz: Twój ostateczny wynik jest dobry Co do łatwiejszego sposobu to jeśli wyprowadzisz sobie wzór redukcyjny to będzie ci łatwiej bo po zastosowaniu jedynki trygonometrycznej będziesz mógł tylko wstawiać do wzoru i korzystając z wyprowadzonego wzoru nie będziesz już rozpisywał tych iteracji tak jak ja to zrobiłem

potworek44: Dziękuję Tobie Mariusz, nie znałem tych wzorów. Czy mógłby ktoś jeszcze pokazać tą zamianę o której mówi chichi i doprowadzić te nawiasy jakoś do przyjemnej postaci całkowania? Dziękuję

Jerzy: cos(4x) = cos(2*2x) = cos²(2x) − sin²(2x) = cos²(2x) − ( 1 − cos²(2x) )

	cos(4x) + 1
⇔ cos2(2x) =
	2

Mariusz: Jak sam się uczysz to poczytaj coś sobie np http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/rachunek.html Całkowanie jest w drugim tomie

potworek44: Dziękuję Mariusz poczytam ten plik oraz dziękuję Tobie Jerzy. Czy mógłby mi ktoś powiedzieć czy

	1
dobrze mi wyszło że sin4xcos2x=		(cos6x−2cos4x−cos2x+2) i dalej całkuję
	32

	1
∫sin4xcos2x=		∫(cos6x−2cos4x−cos2x+2)dx=
	32

	1		1		1		1
=		∫cos6x dx−		∫cos4x dx−		∫cos2x dx+		∫dx=
	32		16		32		16

	sin6x		sin4x		sin2x		x
=		−		−		+		+C
	192		64		64		16

Dziękuję wszystkim sprawdzającym

Mariusz: sin⁴xcos²x=sin²x(sin²xcos²x)

	1
sin4xcos2x=		sin2x(sin2xcos2x)
	4

	1
sin4xcos2x=		sin2x(4sin2xcos2x)
	4

	1
sin4xcos2x=		sin2xsin22x
	4

	1		1
sin4xcos2x=		(1−cos2x)		(1−cos4x)
	8		2

	1
sin4xcos2x=		(1−cos2x)(1−cos4x)
	16

	1
sin4xcos2x=		(1−cos4x−cos2x+(cos2x)(cos4x))
	16

cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ 2cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α−β)

	1
sin4xcos2x=		(2−2cos4x−2cos2x+2(cos4x)(cos2x))
	32

	1
sin4xcos2x=		(2−2cos4x−2cos2x+cos6x+cos2x)
	32

	1
sin4xcos2x=		(2 − cos2x − 2cos4x + cos6x)
	32

Tak powinno wyjść

potworek44: Mariusz, a co za różnica czy zapiszę to od lewej czy od prawej? przecież mam taki sam wynik

Mariusz: Wyszedł ci poprawny wynik

Damian#UDM: Ja próbowałem z podstawienia podobnego do uniwersalnego: t=tg(x)

	dt
dx=
	t2+1

	t2
sin2(x)=
	t2+1

	1
cos2(x)=
	t2+1

	t4	1	dt
∫sin4(x)cos2(x)dx=∫
	(t2+1)2	t2+1	t2+1

	t4dt
∫sin4(x)cos2(x)dx=
	(t2+1)4

I dalej już nie mam pomysłu, chyba nie jest to najlepszy sposób

Mariusz: Dalej mógłbyś zastosować metodę Ostrogradskiego ale miałbyś osiem współczynników tak jak przy rozkładzie na sumę ułamków prostych tyle że akurat tutaj rozkład na sumę ułamków prostych niewiele da

	t4		A5t5+A4t4+A3t3+A2t2+A1t+A0
∫		dt=
	(t2+1)4		(t2+1)3

	B1t+B0
+∫		dt
	t2+1

Gdybyś chciał dalej liczyć w ten sposób to różniczkujesz obustronnie powyższą równość Możesz też liczyć przez części

	(−t3)	(−6t)
∫			dt
	6	(t2+1)4

Damian#UDM: Okej, dziękuję Mariusz za cenne uwagi. Pozdrawiam serdecznie