rekurencja równania oaza: Mam takie równanie np. a_n+2 = −4a_n+1 − a_n + 10*3ⁿ Jaka będzie przewidywana postać a_n² ? gdyby było równanie takie a_n+2 = −4a_n+1 − a_n + 3ⁿ to postać przewidywana by wyglądała a_n² = C*3ⁿ a w tym wypadku ile? a_n² = 10C*3ⁿ ?

oaza: no i jeszcze mam zagwostkę jakby wyglądała przewidywana postać a_n²,gdy np a_n+2 = −4a_n+1 − a_n + 3,gdy jest tutaj sama liczba te 3.Nie chce zakładać osobnego zadania,bo szkoda

Mila: Zadanie 2. a_n+2=−4a_n+1−a_n+3 a_n=−4a_n−1−a_n−2+3, n≥2 1) x²+4x+1=0 Δ=12 x=−2−√3 lub x=−2+√3 a_n⁽¹⁾=A*(−2−√3)ⁿ B*(−2+√3)ⁿ 2) f(n)=3 −4−1=−5≠1

	3		1
an(2)=		=
	1−(−5)		2

3)

	1
an=A*(−2−√3)n +B*(−2+√3)n+
	2

Mila: zadanie 1) a_n+2 = −4a_n+1 − a_n + 10*3ⁿ 1) a_n⁽¹⁾=A*(−2−√3)ⁿ+B*(−2+√3)ⁿ 2) f(n)=10*3ⁿ i 3 nie jest pierwiastkiem r. charakterystycznego a_n⁽²⁾=C*3ⁿ

Temudżyn: A tak w ogóle,dobrze że jesteś,bracie/siostro z Ruchu Światło−Życie.

oaza: dziękuję bardzo na ratunek , rozumiem, ze na to jakiś wzór w zadaniu 2?jakaś funkcja tworząca czy cos? Dobrze, ze jestes też Temudzynie, akurat chodziło mi o wodę z biedry

Mila: I to Ci przeszkadza?

Mila: Równania rekurencyjne. https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=304902

oaza: nie nie, po prostu nie słyszałem w którym kościele dzwoni, ale już rozumiem, dziękuję

Mariusz: "jakaś funkcja tworząca czy cos?" Jeśli chodzi o funkcje tworzącą to dla pierwszego równania wyglądałaby tak a_n+2 = −4a_n+1 − a_n + 10*3ⁿ Przesuńmy indeksy tych wyrazów a_n = −4a_n−1 − a_n−2 + 10*3ⁿ⁻²

	10
an = −4an−1 − an−2 +		3n
	9

Definiujesz sobie funkcję tworzącą w ten sposób że wyrazy twojego ciągu są współczynnikami pewnego szeregu potęgowego (Okazuje się że dla równania rekurencyjnego liniowego o stałych współczynnikach szereg ten może być przedstawiony w postaci sumy szeregów geometrycznych i ich pochodnych) A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ Ponieważ twoja rekurencja zachodzi dla n≥2 zaczynasz sumowanie od n=2 ∑_n=2^∞a_nxⁿ= ∑_n=2^∞−4a_n−1xⁿ+∑_n=2^∞(−a_n−2xⁿ)+

	10
		∑n=2∞3nxn
	9

∑_n=2^∞a_nxⁿ=−4x(∑_n=2^∞a_n−1xⁿ⁻¹)−x²(∑_n=2^∞(a_n−2xⁿ⁻²))

	10	9x2
+
	9	1−3x

∑_n=2^∞a_nxⁿ=−4x(∑_n=1^∞a_nxⁿ)−x²(∑_n=0^∞(a_nxⁿ))

	10x2
+
	1−3x

∑_n=0^∞a_nxⁿ−a₀−a₁x=−4x(∑_n=0^∞a_nxⁿ−a₀)

	10x2
−x2(∑n=0∞(anxn))+
	1−3x

∑_n=0^∞a_nxⁿ−a₀−a₁x=−4x(∑_n=0^∞a_nxⁿ)+4a₀x

	10x2
−x2(∑n=0∞(anxn))+
	1−3x

	10x2
A(x)(1+4x+x2)=(a1+4a0)x+a0+
	1−3x

	(a1+4a0)x+a0		10x2
A(x)=		+
	1+4x+x2		(1+4x+x2)(1−3x)

	(a1+4a0)x+a0
Gdy rozwiniesz w szereg składnik
	1+4x+x2

to otrzymasz rozwiązanie ogólne równania jednorodnego

	10x2
a gdy rozwiniesz w szereg składnik
	(1+4x+x2)(1−3x)

dostaniesz rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego Dla drugiego równania miałbyś następującą funkcję tworzącą

	(a1+4a0)x+a0		x2
A(x)=		+
	1+4x+x2		(1+4x+x2)(1−3x)

Mariusz: Aby pokazać z jakiego składnia dostaniesz rozwiązanie ogólne równania jednorodnego a z jakiego składnia dostaniesz rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego

	10x2
to dla pierwszego równania składnik		trzeba by jeszcze rozłożyć
	(1+4x+x2)(1−3x)

10x2		Ax+B		C
	=		+
(1+4x+x2)(1−3x)		1+4x+x2		1−3x

10x²=(Ax+B)(1−3x)+C(1+4x+x²) 10x²=Ax−3Ax²+B−3Bx+C+4Cx+Cx² 10x²=(−3A+C)x²+(A−3B+4C)x+B+C −3A+C=10 A−3B+4C=0 B+C=0 C=−B A−3B−4B=0 −3A−B=10 C=−B A=7B −22B=10

	5
B=−
	11

	5
C=
	11

	35
A=−
	11

	1	(11a1+44a0−35)x+11a0−5		5	1
A(x)=			+
	11	(1+4x+x2)		11	1−3x

	1	(11a1+44a0−35)x+11a0−5
Teraz gdy rozwiniesz składnik
	11	(1+4x+x2)

w szereg potęgowy to otrzymasz rozwiązanie ogólne równania jednorodnego

	5	1
a gdy rozwiniesz składnik
	11	1−3x

w szereg potęgowy to otrzymasz rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego

oaza: ło,bardziej złożone rozwiązanie,dziękuje