Obliczyć KasiaB: Obliczyć: (i) ∞ ⋂= (0, ¹_n) n=1 ∞ ⋂= (−¹_n, ¹_n) n=1 ∞ ⋃= (¹_n, n) n=1 (ii) ∞ ⋂= (n, n+3) n=1 ∞ ⋃= (n, n+3) n=1 (iii) ∞ ⋂= (n, 2n) n=1 ∞ ⋃= (n−n², ¹_n) n=1 Mam kilka takich przykładów, jednak nie bardzo wiem jak to liczyć. Mógłby mi ktoś to pomoc zrozumieć, wytłumaczyć jak to robić>

ite: (i) Na początek spróbuj wypisać kilka pierwszych przedziałów, zaczynając od n=1.

KasiaB: Okej, więc mam coś takiego: ∞ ⋂= (0, 1n) −−> (0,1), (0,¹₂), (0, ¹₃) ... n=1 ∞ ⋂= (−¹_n. u{1}{n)) −−> (−1,1), (−1/2; 1/2), (−1/3; 1/3) ... n=1 Na przykładzie dwóch pierwszych, mam coś takiego i co z tym dalej zrobić?

ite: w drugim: Mamy takie początkowe przedziały (−1,1), (−1/2; 1/2), (−1/3; 1/3), ...

	−1		1
oraz wiemy, że jeśli n→∞, to		→0− i		→0+
	n		n

Jedyną liczbą należącą do każdego z przedziałów będzie 0.

KasiaB: Dzięki, coś tam już rozumiem. Proszę więc, jeżeli możesz sprawdzić moje wyniki i rozumowanie: Przykład (i) 1) (0,1), (0,1/2), (0, 1/3)... więc wynik to zbiór pusty? 2) to już wiem, że 0 3) [1,1), [1/2; 2), [1/3; 3) ... więc skoro to suma czyli wynik to przedział (0, +∞) ? Przykład (ii) 1) przedziały początkowe: (1,4), (2,5), (3,6)... czyli wynik to zbiór pusty bo nie ma tej części wspólnej 2) przedziały jak wyżej w przykładzie z tym, że tutaj jest suma czyli ostateczny przedział/ wynik to (1, +∞) Przykład (iii) 1) przedziały początkowe: (1,2), (2,4), (3,6).... czyli zbiór pusty będzie 2) pocz. przedziały: (0,1), (−2, 1/2), (−6, 1/3) ..., 1/n −> 0+, więc jak patrzę na te przedziały to będzie (−∞, +∞) czyli R? Czy to sa poprawne odpowiedzi?

ite: (i) 3) czy tam są przedziały lewostronnie domknięte czy otwarte? (ii) 1), 2) zgadza się (iii) 1) zgadza się

	1		1
2) dla		największa możliwa wartość to		, nie otrzymasz większej
	n		1

KasiaB: Ojj przepraszam, moje niedopatrzenie. Tak, w (i) w 3 przykładzie powinno być [1/n; n) ale odpowiedz chyba będzie taka sama czyli (0, +∞) czy nie? a w (iii) 2) czyli przedział (−∞, 1) czy może (−∞, 1]?

ite: w (i) 3) odpowiedz będzie w obu przypadkach (0, +∞) w (iii) 2) największa możliwa wartość tego ilorazu to 1, ale żaden przedział nie zawiera tej liczby, mamy jedynie (0,1), więc suma (−∞, 1)

KasiaB: Okej, dzięki wielkie za wytłumaczenie. Masz może jeszcze chwilę, na pomoc z lim sup i lim inf z tymi samymi ciągami zbiorów?

ite: Muszę już wracać do pracy, ale jak wpiszesz pytanie w nowym wątku, to na pewno ktoś odpowie.

KasiaB: Dzięki mimo wszystko