Czy wektory tworzą bazę?
Ursus: Niech V=R[x]
3
Czy wektory v
1=x
2−1, v
2=x
3+x, v
3=x
3−x
2+5 tworzą bazę?
Czy wektor v=x
2+x+1 jest kombinacją liniową ww wektorów?
Dla pytania 1):
Najpierw sprawdzam, czy wektory są liniowo niezależne przez wyliczenie rzędu macierzy:
|0 1 0 −1|
|1 0 1 0|
|1 −1 0 5|
Rząd wynosi 3 więc wnioskuję, że te wektory są liniowo niezależne.
Następnie chciałbym sprawdzić czy te wektory rozpinają przestrzeń V i tutaj się niestety
gubię...
Jedyne co przychodzi mi na myśl to skonstruowanie układu równań:
⎧ | x=α2+α3 | |
⎜ | y=α1−α3 | |
⎨ | z=α2 |
|
⎩ | t=−α1+5α3 | |
Następnie umieszczam go w macierzy:
| 0 1 1| |0 0 1|
| 1 0 −1| →|1 0 −1| (Operacje: W
1−W
3; W
4+W
2; W
4:5; W
4−W
1)
| 0 1 0| |0 1 0|
|−1 0 5| |0 0 0|
Pytanie, czy to cokolwiek mi daje?
Dla pytania 2):
Czy wystarczy, że umieszczę wszystkie te wektory w macierz 4x4:
|0 1 0 −1|
|1 0 1 0| Wyznacznik tej macierzy jest różny od zera, a więc nie są one liniowo zależne.
|1 −1 0 5|
|0 1 1 1|
14 mar 13:00
ABC: zastanowiłeś się jaki jest wymiar przestrzeni wielomianów stopnia trzeciego nad R ? potrafisz
wskazać bazę kanoniczną ?
14 mar 13:22
Ursus: Sądzę, że wymiar ten wynosi 4, natomiast bazą kanoniczną dla takiego wielomianu jest:
[1, x, x2, x3]
14 mar 14:02
ABC: no to wszystkie bazy maja ten sam wymiar, więc trzy wektory nie mogą tworzyć bazy
14 mar 14:49
Ursus: Czyli, jeżeli w układzie równań mam n zmiennych, a samych równań mam mniej, to z góry mogę
założyć, że one nie tworzą bazy?
14 mar 15:35