Czy wektory tworzą bazę? Ursus: Niech V=R[x]₃ Czy wektory v₁=x²−1, v₂=x³+x, v₃=x³−x²+5 tworzą bazę? Czy wektor v=x²+x+1 jest kombinacją liniową ww wektorów? Dla pytania 1): Najpierw sprawdzam, czy wektory są liniowo niezależne przez wyliczenie rzędu macierzy: |0 1 0 −1| |1 0 1 0| |1 −1 0 5| Rząd wynosi 3 więc wnioskuję, że te wektory są liniowo niezależne. Następnie chciałbym sprawdzić czy te wektory rozpinają przestrzeń V i tutaj się niestety gubię... Jedyne co przychodzi mi na myśl to skonstruowanie układu równań:

⎧	x=α2+α3
⎜	y=α1−α3
⎨	z=α2
⎩	t=−α1+5α3

Następnie umieszczam go w macierzy: | 0 1 1| |0 0 1| | 1 0 −1| →|1 0 −1| (Operacje: W₁−W₃; W₄+W₂; W₄:5; W₄−W₁) | 0 1 0| |0 1 0| |−1 0 5| |0 0 0| Pytanie, czy to cokolwiek mi daje? Dla pytania 2): Czy wystarczy, że umieszczę wszystkie te wektory w macierz 4x4: |0 1 0 −1| |1 0 1 0| Wyznacznik tej macierzy jest różny od zera, a więc nie są one liniowo zależne. |1 −1 0 5| |0 1 1 1|

ABC: zastanowiłeś się jaki jest wymiar przestrzeni wielomianów stopnia trzeciego nad R ? potrafisz wskazać bazę kanoniczną ?

Ursus: Sądzę, że wymiar ten wynosi 4, natomiast bazą kanoniczną dla takiego wielomianu jest: [1, x, x², x³]

ABC: no to wszystkie bazy maja ten sam wymiar, więc trzy wektory nie mogą tworzyć bazy

Ursus: Czyli, jeżeli w układzie równań mam n zmiennych, a samych równań mam mniej, to z góry mogę założyć, że one nie tworzą bazy?