Oblicz wartość najmniejszego iloczynu. silly goose: Wykres funkcji kwadratowej f(x) = (1−m)x² −mx +m² przecina oś Ox w punktach A i B, które leża po dwóch różnych stronach osi Oy. Wyznacz tę wartość parametru m, dla której iloczyn odległości punktów A i B od początku układu współrzędnych. jest najmniejszy możliwy. Oblicz wartość tego najmniejszego iloczynu. co mam zapisane, ale nie wiem czy dobrze: A(x1, 0) B(x2, 0) x1*x2 −> ma być najmniejszy, czyli x1*x2 = ^c_a f(x) = (1−m)x² −mx +m² zał. 1−m≠0 ∧ Δ>0 m≠1 m²−4(1−m)m² = 4m²−3m³>0 m = 0 v m = ³₄ m∊ (0; ³₄) I dalej nie wiem co liczyć, pochodną f(x)?

ICSP: 1^o Badasz iloczyn odległości, więc nie x₁*x₂ tylko |x₁*x₂| 2^o Kompletnie zignorowałeś założenie: "leżą po dwóch różnych stronach osi OY" 3^o Źle policzona delta. Powyższe do poprawy. Dalej definiujesz funkcję

	m2
g(x) = |x1 * x2| = |		|
	m−1

I musisz znaleźć jej minimum na ustalonym wcześniej przedziale(warunki 2^o oraz 3^o)

silly goose: popraweczka 4m³−3m²>0 m = 0 v m = ³₄ m∊ (³₄; +∞) i teraz jeszcze takie założenie, bo są po różnych stronach osi OY? x1*x2<0 ^m2_1−m<0 m²(1−m)<0 m∊(1;+∞) g(m)= |^m2_m−1| przypadek [1] g(m)= ^m2_m−1 dla m>1 g'(m)= ^m2−2m_(m−1)² D'=D g'(m) = 0 ⇔ m²−2m = 0 m=0 v m=2 g'(m) < 0 ⇔ m∊ (1;2) ⇒ f malejąca w (1;2) g'(m) > 0 ⇔ m∊ (2;+∞) ⇒ f rosnąca w (2;+∞) dla m=2 funkcja osiąga wartość minimalną przypadek [2] g(m)= −(^m2_m−1) dla m<1 g'(m)= ^2m−m2_(m−1)² D'=D g'(m) = 0 ⇔ 2m−m² = 0 m=0 v m=2 tu min będzie wychodziło w 0, ale nie należy do dziedziny i ogólnie skoro wcześniej było napisane, że m∊(1;+∞) to niepotrzebnie liczyłam [2] czy coś znowu źle zrobiłam ? m=2 |^m2_m−1|= |²²₂₋₁|=4 <−−− odp?

ICSP: D : m > 1

	m2		m2
g(m) = |		| =
	m−1		m−1

Nie ma tutaj żadnych przypadków. Dziedzina pozwoliła na znaczne uproszczenie wzoru.

m2		1		1
	= m + 1 +		= m − 1 +		+ 2 ≥ 2*√(m−1)*1/(m−1) + 2 = 4
m−1		m−1		m−1

	1
Równość gdy m − 1 =		⇒ (m−1)2 = 1 ⇒ m = 2 v m = 0
	m−1

Czyli wychodzi m = 2 Skoro wyszło tak samo to pewnie nie masz więcej błędów rachunkowych. Przypadek [2] zbędny.

ICSP: Nie zauważyłem, że pytają o wartość iloczynu a nie wartość m, więc odp to 4.

silly goose: Dzięki wielkie!

Anonim: Mam pytanie, skąd się to wzięło : ≥ 2*√(m−1)*1/(m−1) + 2 ? I skąd się wzięło potem "Równość gdy: m − 1 = 1/(m−1)"?

Anonim: Jest na to jakieś twierdzenie ? Nie brałem po prostu tego jeszcze w liceum tylko sam się tego uczę do przodu i resztę rozumiem , np sposób silly goose czyli liczenie z pochodnej ( przyp. 1 ) itp

BoosterXS: A delta przypadkiem nie będzie ≥0? Mają być 2 miejsca przecięcia z osią Ox

BoosterXS: Nie było wpisu, na mnie już pora do spania

Anonim: Delta tylko i wyłącznie > od zera, bo tylko wtedy mamy dwa różne miejsca zerowe ( z treści wiemy że mają one być różne − są po różnych stronach osi OY )

ICSP: https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9Bci_mi%C4%99dzy_%C5%9Brednimi

Anonim: A dobra, tak mi się właśnie wydawało, że to nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną

Idom37: A dlaczego w tym sposobie @ICSP liczymy minimum funkcji ze średniej arytmetycznej? Liczenie tego z pochodnej jak najbardziej rozumiem ale dlaczego została tutaj użyta nierówność między średnimi?

Idom37: tzn dlaczego akurat tak można też to policzyć?

ICSP: Nie liczę minimum z średniej arytmetycznej. Oszacowuję natomiast wartości funkcji za pomocą nierówności A₂ ≥ G₂ Skoro funkcja przyjmuje wartości większe od 4 to wartość 4 będzie jej minimum wtedy gdy zostanie ona osiągnięta dla pewnego m. Dlatego później jeszcze wskazuje dla jakiego m zachodzi równość.