rekurencja zadanie oaza: Równanie rekurencyjne. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania: a_n=3a_n−1 + 3n² przekształciłem to na: a_n −3a_n−1 = 3n² no i lewa strona równania : a_n −3a_n−1 = 0 rozwiązaniem ogólnym tej lewej strony będzie a_n = 3ⁿ Z prawą stroną nie wiem jak to połączyć,ruszyć.

jc: Czy to nie będzie coś takiego?

	22		32		42		n2
an = C3n+3n(1+		+		+		+ ... +		)
	3		32		33		3n−1

oaza: bardzo możliwe, nie mam odpowiedzi

oaza: ma ktoś może jeszcze pomysł jak to krok po kroku rozwiązać? spokoju mi nie daje

Mariusz: A(x)=∑_n=0^∞a_na_nxⁿ

	1
∑n=0∞xn=
	1−x

d		d		1
	(∑n=0∞xn)=		(		)
dx		dx		1−x

	1
∑n=0∞nxn−1=−		*(−1)
	(1−x)2

	1
∑n=1∞nxn−1=
	(1−x)2

	1
∑n=0∞(n+1)xn=
	(1−x)2

d		d		1
	(∑n=0∞(n+1)xn)=		(		)
dx		dx		(1−x)2

	2
∑n=0∞(n+1)nxn−1=−		*(−1)
	(1−x)3

	2
∑n=1∞(n+1)nxn−1=
	(1−x)3

	2
∑n=0∞(n+2)(n+1)xn=
	(1−x)3

∑_n=0^∞(n+2)(n+1)xⁿ−3(∑_n=0^∞(n+1)xⁿ)+∑_n=0^∞xⁿ=

2		3		1
	−		+		=
(1−x)3		(1−x)2		1−x

2−3(1−x)+1−2x+x2
	=
(1−x)3

x2+x
(1−x)3

∑_n=1^∞a_nxⁿ=∑_n=1^∞3a_n−1xⁿ+∑_n=1^∞n²xⁿ ∑_n=1^∞a_nxⁿ=3x(∑_n=1^∞a_n−1xⁿ⁻¹)+∑_n=0^∞n²xⁿ

	x2+x
∑n=1∞anxn=3x(∑n=0∞anxn)+
	(1−x)3

	x2+x
∑n=0∞anxn−a0=3x(∑n=0∞anxn)+
	(1−x)3

	x2+x
A(x)−3xA(x)=a0+
	(1−x)3

	x2+x
(1−3x)A(x)=a0+
	(1−x)3

	a0		x2+x
A(x)=		+
	1−3x		(1−x)3(1−3x)

Pierwszy składnik funkcji A(x) możesz już od razu rozwinąć w szereg potęgowy korzystając z szeregu geometrycznego aby rozwinąć drugi składnik rozkładasz go na sumę ułamków

x2+x		A		B		C		D
	=		+		+		+
(1−x)3(1−3x)		1−x		(1−x)2		(1−x)3		1−3x

Mariusz: Innym pomysłem będzie czynnik sumacyjny a_n=3a_n−1 + 3n²

	1
sn=		sn−1
	3

	1		1
ansn=3an−1(		sn−1)+3n2(s0)(		)n
	3		3

Niech U_n=a_ns_n

	1
Un=Un−1+3s0n2(		)n
	3

Niech s₀=1 wtedy

	1
Un=U0+∑k=1n3k2(		)k
	3

	1
Sumę ∑k=1n3k2(		)k
	3

można policzyć np przez części

oaza: sporo tych rachunków,myślałem,że będzie lżej,dziękuje.

Mariusz: Można krócej ale ja wolę funkcje tworzące Można skorzystać z równania charakterystycznego i przewidywania rozwiązania równania niejednorodnego ale to dużo zapamiętywania bez uzasadnienia no i funkcją tworzącą więcej równań rozwiązać Spróbuj równaniem charakterystycznym i przewidywaniem rozwiązać równanie na liczby Catalana albo chociaż liniowe w którym współczynniki nie są stałe

oaza: P.Mariuszu,a czy mógłbym prosić o rozwiązanie z metodą przewidywań?Kierowałem się przykładem z tematu 'Rozwiązywanie rekurencji' też z pewnego forum matematycznego,ale nie wiem jak będzie wyglądała postać rozwiązanie szczególnego.

Mariusz: a_n=3a_n−1 + 3n² Zakładasz że rozwiązanie szczególne równania jednorodnego jest postaci a_j=λⁿ λⁿ=3λⁿ⁻¹ λⁿ⁻¹(λ−3)=0 (λ−3)=0 λ=3 Otrzymałeś λ=3 Część niejednorodna twojej rekurencji jest wielomianem więc patrzysz czy jedynka jest rozwiązaniem równania charakterastycznego U ciebie pierwiastkiem równania charakterystycznego jest trójka więc przewidujesz wielomian drugiego stopnia jako rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego a_s=(An²+Bn+C)

oaza: oo,dziekuje

Mila: (*) a_n=3a_n−1 + 3n² 1) Równanie charakterystyczne: x−3=0 x=3 a_n⁽¹⁾=c₁*3ⁿ 2) a_n⁽²⁾= An²+Bn+C− przewidywana postać: Podstawiamy do (*), aby wyznaczyć wsp. A,B,C An²+Bn+C=3*[A(n−1)²+B(n−1)+C]+3n² po wykonaniu działań i uporządkowaniu: −2A*n²+n*(6A−2B)+3B−3A−2C=3n²

	3		9		9
−2A=3⇔A=−		, B=−		, C=−
	2		2		2

	3		9		9
an(2)=−		n2−		n−
	2		2		2

======================== 3)

	3		9		9
an=C1*3n−		n2−		n−
	2		2		2

====================== 4) Dla sprawdzenia:

	9
Dla a0=0 mamy: C1=		wtedy:
	2

	1
an=		*(3n+2−3n2−9n−9)
	2

a₁=3*a₀+3*1=3 , a₂=3*3+3*4=21 −z wzoru rekurencyjnego

	1		1
a1=		*(33−3−9−9)=		*6=3 −z otrzymanego wzoru
	2		2

	1		1
a2=		*(81−12−18−9)=		*42=21
	2		2

zgodność

oaza: super, teraz przejrzyściej sie nie da, dziękuję

Mila:

kerajs: ''Mariusz: Można krócej ale ja wolę funkcje tworzące Można skorzystać z równania charakterystycznego i przewidywania rozwiązania równania niejednorodnego '' Chwilę mnie nie było, a tu takie zmiany!

Mariusz: Nie zacytowałeś całości Bo mu to nie pasowało ale nadal uważam że równanie charakterystyczne to kiepski pomysł Każde równanie rekurencyjne którą rozwiązujecie z użyciem równania charakterystycznego można rozwiązać także z użyciem funkcji tworzącej Funkcją tworzącą można więcej równań rozwiązać Używając funkcji tworzącej postać rozwiązania równania liniowego o stałych współczynnikach otrzymujesz z sumy szeregów geometrycznych i ich pochodnych a w przypadku równania charakterystycznego uczyłeś się jej na pamięć bez żadnego uzasadnienia Tutaj podałem też czynnik sumacyjny ale ma on tę wadę że działa tylko dla równań pierwszego rzędu no i jeśli będziemy chcieli policzyć sumę korzystając z równania rekurencyjnego to rozwiązując to równanie czynnikiem sumacyjnym dostaniemy kółeczko