x4+y4+1>x3y+xy3
abba: Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność
x4+y4+1>x3y+xy3
8 mar 18:30
Saizou :
Przekształcam równoważnie
x4+y4+1 > x3y+xy3
x4+y4−x3y−xy3 > −1
x3(x−y)−y3(x−y) > −1
(x−y)(x3−y3) > −1
(x−y)(x−y)(x2+xy+y2) > −1
(x−y)2(x2+xy+y2) > −1
+ komentarz
8 mar 19:18
abba: Dzięki
8 mar 22:04
Filip:
Cześć
Saizou, może inaczej
x
4 + y
4 − x
3y − xy
3 + 1 > 0
(x
2 − yx)
2 + 2yx
3 + (y
2 − yx)
2 + 2y
3x − 2x
2y
2 + 1 > 0
(x
2 − yx)
2 + (y
2 − yx)
2 + 2xy(x
2 − xy + y
2) + 1 > 0
(x
2 − yx)
2 + (y
2 − yx)
2 + 2xy((x − y)
2 + xy) + 1 > 0
8 mar 22:35
jc: x4+y4−x3y+y3x = (x3−y3)(x−y) ≥ 0 bo jeśli czynniki nie są zerami to są tego samego znaku.
8 mar 22:39
Saizou :
Hejo
Filipie
Jasne, że można dopełniać do kwadratów
Można też sposobem pokazanym prze
PW, czyli zastosować podstawienie y = kx,
wówczas otrzymamy
x
4 + k
4x
4 +1 > kx
4 + k
3x
4
x
4(k
4−k
3−k+1)+1 > 0
x
4(k
3(k−1)−(k−1))+1>0
x
4((k−1)(k
3−1))+1>0
i historia jak wyżej u mnie
8 mar 22:41