równanie Kuba152: Rozwiąż równanie √ x² +√x −√ x² − √x = √ ^x_x+√x

ICSP: Z lewej strony pod pierwiastkiem są kwadraty?

Kuba152: x² + √x oraz x² − √x

ICSP: Wynik będzie paskudny, więc nie wiem czy jest sens się w to bawić. Pomysł jest taki aby przemnożyć licznik i mianownik lewej strony przez √x² + √x + √x² − √x Potem podzielić przez √x Otrzymuje się równanie: √x² + √x + √x² − √x = √x + √x które podnosząc do kwadratu sprowadza się do równania IV stopnia. Ponieważ równanie IV nie ma pierwiastków wymiernych to aby wyznaczyć pierwiastki trzeba użyć albo metod numerycznych albo np metody Ferrariego

Kuba152: Ooo Dziękuję Ci bardzo!

Adamm: √x²+√x+√x²−√x=2√x+√x x²+2√x⁴−x = 4(x+√x) u = √x u⁴+2√u⁸−u² = 4(u²+u) 2√u⁸−u² = 4u²+4u−u⁴ 2√u⁶−1 = 4u+4−u³ 4(u⁶−1) = u⁶−2u³(4u+4)+16(u²+2u+1) 4u⁶−4 = u⁶−8u⁴−8u³+16u²+32u+16 3u⁶+8u⁴+8u³−16u²−32u−20 = 0

Adamm: https://www.wolframalpha.com/input/?i=3u6%2B8u4%2B8u3%E2%88%9216u2%E2%88%9232u%E2%88%9220+%3D+0

Adamm: Dwójka mi umknęła 2x²+2√x⁴−x = 4(x+√x) u⁴+√u⁸−u² = 2(u²+u) √u⁶−1 = 2u+2−u³ u⁶−1 = u⁶−2u³(2u+2)+4u²+8u+4 4u⁴+4u³−4u²−8u−5 = 0

Adamm: https://www.wolframalpha.com/input/?i=4u%5E4%2B4u%5E3-4u%5E2-8u-5

Kuba152: Dziękuję Ci bardzo Adamm!

Mariusz: 4u⁴+4u³−4u²−8u−5 = 0 Przenosisz wyrazy z u do potęgi < 3 na drugą stronę równania 4u⁴+4u³=4u²+8u+5 Dodajesz do obydwu stron równania taki wyraz aby wyrażenie po lewej stronie równania było kwadratem zupełnym 4u⁴+4u³+u²=5u²+8u+5 (2u²+u)²=5u²+8u+5 Zauważasz że wyrażenie po prawej stronie równania jest trójmianem kwadratowym i będzie kwadratem zupełnym gdy jego wyróżnik będzie równy zero Gdybyś od razu liczył wyróżnik to nie dostałbyś zera więc musisz ten wyróżnik uzależnić od jakiegoś parametru Wprowadzasz parametr tak aby lewa strona nadal była kwadratem zupełnym

	y		y2
(2u2+u+		)2=(2y+5)u2+(y+8)u+		+5
	2		4

Liczysz wyróżnik tego trójmianu kwadratowego po prawej stronie równania i przyrównujesz go do zera Δ = 0

	y2
4(		+5)(2y+5)−(y+8)2=0
	4

(y²+20)(2y+5)−(y+8)²=0 2y³+5y²+40y+100−(y²+16y+64)=0 2y³+4y²+24y+36=0 y³+2y²+12y+18=0 Aby rozwiązać to równanie trzeciego stopnia najpierw rugujesz wyraz z y² np przedstawiając wielomian trzeciego stopnia

	2
występujący w tym równaniu w postaci sumy potęg dwumianu y+
	3

	2		2		4		8
(y+		)3=y3+3		y2+3		y+
	3		3		9		27

	2		4		8
(y+		)3=y3+2y2+		y+
	3		3		27

	2		32		2		4		8		32		64
(y+		)3+		(y+		)=(y3+2y2+		y+		)+		y+
	3		3		3		3		27		3		9

	2		32		2		200
(y+		)3+		(y+		)=y3+2y2+12y+
	3		3		3		27

	2		32		2		286		200		286
(y+		)3+		(y+		)+		=y3+2y2+12y+		+
	3		3		3		27		27		27

	2		32		2		286
(y+		)3+		(y+		)+		=y3+2y2+12y+18
	3		3		3		27

	2
w = y+
	3

	32		286
w3+		w+		=0
	3		27

Zakładasz że w = u + v

	32		286
(u+v)3+		(u+v)+		=0
	3		27

	32		286
u3+3u2v+3uv2+v3+		(u+v)+		=0
	3		27

	286		32
u3 + v3 +		+ 3(u+v)(uv+		) = 0
	27		9

	286
u3 + v3 +		= 0
	27

	32
3(u+v)(uv+		)=0
	9

Tutaj iloczyn będzie równy zerem jeśli przynajmniej jeden z czynników będzie zerem ale przyjęliśmy że w = u+v więc tego czynnika nie przyrównujemy do zera

	286
u3 + v3 +		= 0
	27

	32
(uv+		)=0
	9

	286
u3 + v3 = −
	27

	32
uv = −
	9

Ten układ równań przypomina nam wzory Vieta dla pewnego równania kwadratowego Przekształćmy go aby był wzorami Vieta dla równania kwadratowego o pierwiastkach u³ oraz v³

	286
u3 + v3 = −
	27

	32768
u3v3 = −
	729

	286		32768
t2+		t−		=0
	27		729

	143		53217
(t+		)2−		=0
	27		729

	−143−27√73		−143+27√73
(t−		)(t−		)
	27		27

	2		1
y+		=		(3√−143−27√73+3√−143+27√73)
	3		3

	1
y=		(3√−143−27√73+3√−143+27√73−2)
	3

	y		y2
(2u2+u+		)2=(2y+5)u2+(y+8)u+		+5
	2		4

	y		y+8
(2u2+u+		)2=(2y+5)(u+		)2
	2		2(2y+5)

	y		y+8
(2u2+u+		)2=(√2y+5u+		)2
	2		2√2y+5

	y		y+8
(2u2+u+		)2−(√2y+5u+		)2=0
	2		2√2y+5

	1		y+8
(2u2+(1−√2y+5)u+		(y−		))
	2		√2y+5

	1		y+8
(2u2+(1+√2y+5)u+		(y+		))=0
	2		√2y+5