Znalezc idempotenty anastazja99: Czy pokazalby ktos mi jak znalezc idempotenty w pierscieniu np. Z₁₂₀? Prosilabym ze szczegolbym wytlumaczeniem bo mam z tym problem ; (

Adamm: szukasz x całkowitych dla których 120|x² 120 = 4*3*5 więc 120|x² ⇔ 60|x Zatem x = 0 lub x = 60 (mod 120)

chichi: To ile tych idempotentów będziemy mieli?

Adamm: liczyć nie umie?

chichi: 120 = 4*3*5 ? Idempotentów powinnobyć 8

anastazja99: chichi albo adamm nie wiem ktory z was ma racje, ale chcialabym poznac rozwiazanie

Adamm: 120 = 8*5*3 120|x² ⇔ 4*5*3|x ⇔ 60|x faktoryzację mam złą, ale rozwiązanie poprawne

anastazja99: Adamie czy moglabym cie prosic abys wypisal mi caly zbior tych idempotentow, dokladnych liczb? Bylabym bardzo wdzieczna tobie

\---': Idempotenty w pierścieniu Z₁₂₀ x²=x ===== 0²=0 1²=1 16²=16 25²=25 40²=40 81²=6561=54*120+81≡81 96²=9216=76*120+96≡96 105²≡105 =========

Adamm: boże nie myślę ja liczyłem elementy x dla których x² = 0 x² = x (mod 120) ⇔ (x−1)x = 0 (mod 120) 120|x(x−1) ⇔ 1) x = 0 lub x = 1 (mod 3) 2) x = 0 lub x = 1 (mod 5) 3) x = 0 lub x = 1 (mod 8) z chińskiego twierdzenia o resztach (bo x, x−1 są względnie pierwsze) dla każdej opcji wyznaczymy element idempotentny, łącznie ich jest 8 np. x = 1 (mod 3), 0 (mod 5), 1 (mod 8) stąd x = 5, 10, 15 (mod 15) więc x = 10 (mod 15) i dalej x = 10+15k (mod 8*15) więc biorąc obie strony mod 8 x = 2−k = 1 (mod 8) skąd k = 1 zatem x = 25

Mila: