statystyka e3: Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem F(x)= { 0 dla x <= 0 } {1−exp(−1.4x) dla x >0 } Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej X

Saizou : Całkuję tę dystrybuantę

e3: calkuje tylko 1−exp(−1.4x)? nie rozumiem tego xD a co dalej?

Mila: Wartość oczekiwana gdy dana jest dystrybuanta 1) f(x)=F'(x) f(x)=0 dla x≤0 f(x)=(1−e^−1.4x)' =1.4e^−1.4x dla x>0 2) Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym f(x)=λe^−λx

	1
E(x)=
	λ

	1
E(x)=		≈0.714286
	1.4

e3: a jezeli chcialbym to obliczyc przy pomocy calki?

Mila: Nie ma potrzeby, ale możesz: E(X)=_−∞∫^∞(x*f(x) ) dx=... Licz, spojrzę po 20.

Adamm: no ale przecież jakby chciał wyprowadzić to inaczej raczej się nie da

Mila: 1) E(X)=_−∞∫^∞(x*λe^−x dx=_−∞∫⁰0dx +λ₀∫^∞(x*λe^−λxdx=.. 2) całka nieoznaczona:

	1
[x=u, dx=du, dv=e−λxdx, v=−		e−λx ]
	λ

	1		1
λ*0∫∞(x*λe−λx)dx=λ*(x*(−		)e−λx+		∫e−λxdx)=
	λ		λ

=−x*e^−λx+∫e^−λxdx=

	1		1   −x−   λ
=−x*e−λx−		e−λx=
	λ		eλx

==============================

	1   −x−   λ		1   −0−   λ		1
E(X)=limx→∞[		] −		=0+
	eλx		eλ*0		λ

	1		10		5
E(X)=		=		=
	1.4		14		7

=====================

e3: wklepalem w wolframalpha integral x*1.4*e⁽−1.4*x) from 0 to infinity i wychodzi 0.714286

Mila: Myślałam , że chcesz liczyć po kolei za pomocą całki.

e3: bedzie dla potomnych