zadania przygotowujące do matury na poziomie rozszerzonym Damian#UDM: PR ZADANIA MATURALNE PR 1. (0−3) OE P 2021 2 Suma kwadratów liczb naturalnych a i b jest równa kwadratowi liczby naturalnej c. Wykaż, że jeśli liczba c jest o 1 większa od liczby b, to liczba b jest podzielna przez 4. Moja próba: a, b, c ∊ N c = b + 1 a² + b² = c² → a² + b² = (b + 1)² → a² + b² = b² + 2b + 1 → a² = 2b + 1

	a2 − 1		(a−1)(a+1)
b =		=		, w tym momencie stwierdziłem, że zobaczę co się dzieje dla
	2		2

liczb parzystych oraz nieparzystych. dla a=2n, n∊N

	(2n−1)(2n+1)
b =		= 2n2 − 12 , czyli nie wyszła mi liczba naturalna, więc coś jest
	2

źle. dla a=2n+1 , n∊N

	(2n)(2n+2)
b =		= 2*n*(n+1) , tutaj mam iloczyn liczby 2 oraz dwóch kolejnych liczb, z
	2

których jedna jest na pewno parzysta, więc liczba b w tym przypadku jest podzielna przez 4. Co robię źle? Zapraszam do dyskusji

Adamm: pyrrr

Adamm: b naturalne to 2|(a−1)(a+1). Więc 2|a−1, a+1 przy czym 4|a−1 lub 4|a+1

Adamm: co robisz źle? wnioski

chichi: Jakie kuźwa przypadki jak widać od razu... z postaci a²=2b+1, że 2b+1 jest nieparzyste dla dowolnego b∊N, więc a² również musi być nieparzyste, zatem niech a=2m+1, m∊N i mamy: (2m+1)²=2b+1 ⇒ 4m²+4m+1=2b+1 ⇒ 2m(m+1)=b=4k, k∊N Q.E.D.

chichi: Z mojego uzasadnienia już widać dlaczego masz sprzeczność w przypadku dla 'a' parzystego

Filip: Jakie kuźwa Q.E.D − jesteśmy w Polsce (przynajmniej ja), używa się c.n.u / c.n.w i wiele innych Przy okazji witam

chichi: Hej, no wielu innych czyli m.in. Q.E.D. to, że ty używasz c.n.u. to znaczy, że ja mam używać? Ale jak to, ktoś robi inaczej niż z ja..

6latek: Ja w ksiazce mam c.b.d.u Fakt nie wiem co to jest Q.E.D Jesli z angielska to nie zasmiecajmy naszego pieknego jezyka tymi nalecialosciami

chichi: Kto jak kto, ale, że ty @6latek nie znasz tego skrótu, to mnie zaskoczyłeś Q.E.D. − quod erat demonstrandum, zwrot pochodzący z łaciny, a tego, że masz czas pisać swoje przypuszczenia na forum, a nie masz czasu wpisać w google q.e.d. i poczytać, to już nie rozumiem. Nie zasmiecajcie tematu, pozdrawiam

6latek: Pozdrawiam dziekuje za wyjasnienie . Tak naprawde to znam tylko rosyjski . Uczyli tylko wtedy tego języka .

6latek: Niedobre czasy nastaly. Wszyscy wszystkich odsylaja jak nie na google to do wiki Nikt juz spokojnie nie potrafi wytlumaczyc bez jakiejkolwiek zlosliwosci

Damian#UDM: 6latek zgadzam się z Tobą. Niestety nic z tym nie zrobisz. Dziękuję za wyjaśnienie, myślałem, że założenia zadania mają być spełnione dla liczb parzystych oraz nieparzystych, a jak widać z rozwiązania chichi tak niekoniecznie zawsze musi być.

Saizou : Polecam pisać czarny kwadracik i nie będzie problemu

Eta: A ja polecem pisać : c.n.w lub c.n.u

Jerzy: c.n.d. , też stosowany zapis

Eta: Hej Jerzy kiedyś też używaliśmy c.b.d.o lub c.b.d.u "co było do okazania" , "co było do udowodnienia"

Adamm: równie dobrze można pisać "KONIEC" na końcu dowodu

Adamm: ja osobiście albo nic nie piszę, albo maluję kwadraciki polecam sobie narysować ze 20, działa terapeutycznie

:)))): Dziwne, że jeszcze nikt nie wymienił c.k.d ,,co kończy dowód''

Słoniątko: najlepszy jest dowód przez zastraszenie : albo uwierzycie na słowo, albo będę trzy godziny dowodzić można też przez odwołanie się do sił nieczystych: a diabli wiedzą jak to udowodnić

BoosterXS: Co to za arkusz?

Saizou : OE = oficyna edukacyjna P − poziom podstawowy

ICSP: albo dowód typu ł.w.

chichi: @Saizou w tytule jest napisane "zadania przygotowujące do matury na poziomie rozszerzonym", poza tym dowód IMO za 3 pkt. to. rzadko kiedy na podstawie i to nie ten poziom zadania, na podstawie co najwyżej zwinięcie do wzoru skróconego mnożenia

Qulka: ja uwielbiam pisać c.d.n czyli "co dowieść należało "

Adamm: i tak to bez znaczenia jak się nie jest nauczycielem albo się książek nie czyta

Jerzy: c.d.n. , ciąg dalszy nastąpi ( w serialach )

ite: Jeśli dowód jest długi, to można dzielić na odcinki. Dla miłośników zadań OE i P (poziom podstawowy) czyli dla maturzystów https://www.pazdro.com.pl/web/uploads/files/Przed_probna_matura_podst_1_2021.pdf

Eta: Dorzucam http://www.zsgihchelm.pl/dokumenty/2018/Przed_probna_matura_podst_2.pdf

Damian#UDM: P oznacza Pazdro.

Adamm: @ite dowód całkowy

Damian#UDM: 2. (0 − 2) OE P 2021 Liczby a, b, c są długościami boków trójkąta. Pokazać, że a² + b² + c² < 2*(b + c)²

Filip: a² < b² + c² + 4bc b² + c² − 2bccosα < b² + c² + 4bc −cosα < 2

Damian#UDM:

⎧	a>0
⎨	b>0
⎩	c>0

a² < b² + 4bc + c²

Eta: a<b+c −− z nierówności trójkąta to a²<(b+c)² zatem...........

ICSP: L = a² + b² + c² < (b+c)² + b² + c² = (b+c)² + (b+c)² − 2bc < 2(b+c)² = P

Eta:

Damian#UDM: a² < (b+c)² a² + b² + c² < (b+c)² + (b+c)² b² + c² < (b+c)² b² + 2bc + c² > b² + c² 2bc>0 , bo b>0 oraz c>0 jest ok ?

ICSP: Strasznie słaba ta nierówność. Śmiało mogę dwa razy postawić < zamiast chociaż raz ≤

ICSP: Jest fatalnie. Ja nie mogę się zorientować co tam po kolei robisz. Osoba która będzie sprawdzała twoją maturę nie będzie się zastanawiała jakie przekształcenie zostało wykonane jeżeli nie będzie ono dość oczywiste.

Damian#UDM: Rozumiem, a czy jeśli z nierówności trójkąty wiemy, że a < b+c to a² < (b+c)² to wystarczy, że z nierówności a² + b² + c² < 2*(b+c)² pokaże, że b² + c² < (b+c)² jest spełnione i zadanie jest wykazane?

ICSP: Dlaczego zakładasz, że to co wykazujesz jest prawdą? Wykazujesz pewną nierówność − nie możesz jej używać od tak sobie w dowodzie. Jeżeli już z pewnych względów musisz to jest coś takiego jak dowód niewprost lub metoda przekształceń równoważnych.

Damian#UDM: Najbardziej mi się podoba rozwiązanie za pomocą twierdzenia cosinusów Wyżej 25 lut 19:38 zakładam, że z nierówności trójkąta tak jak Eta napisała a < b + c ⇔ a² < (b+c)² i to jest na pewno prawdziwe, więc pytam się czy jeśli wiem, że nierówność wyżej jest prawdziwa to czy w nierówności a² + b² + c² < (b+c)² + (b+c)² pokaże, że b² + c² < (b+c)² jest też prawdziwe to czy zadanie będzie prawidłowo wykonane? A rozwiązanie b² + c² < (b+c)² przedstawiłem w 25 lut 19:38

Damian#UDM: przedstawiłem w 25 lut 19:33

ICSP: Skąd masz tą nierówność: a² + b² + c² < (b+c)² + (b+c)² ?

Damian#UDM: Z treści zadania, rozpisałem prawą stronę z iloczynu na sumę.

ICSP: Nie rozumiesz. Skoro masz udowodnić pewną nierówność to nie możesz z niej wcześniej korzystać (wyjątkiem jest np. metoda przekształceń równoważnych albo dowód niewprost) jest to poważny błąd logiczny za który raczej dostaje się 0 pkt za zadanie.

6latek: a<b+c to a²<(b+c)² b<a+c to b²<(a+c)² c<a+b to c²<(a+b)² ========================= a²+b²+c²<(b+c)²+(a+c)²+(a+b)² a²+b²+c²<(b²+2bc+c²)+(a²+2ac+c²)+ (a²+2ab+b²) a²+b²+c²<2a²+2b²+2c²+ 2ab+2bc+2ac Co dalej zrobic?

Eta: a<b+c a²<(b+c)² | +b²+c² a²+b²+c²<(b+c)²+b²+c² < (b+c)²+b²+c²+2bc = (b+c)²+(b+c)²=2(b+c)²

6latek: OK. Rozumiem .

Damian#UDM: Ja również już rozumiem. Dziękuję za wyjaśnienia

Eta:

Eta: http://zst.bytom.pl/pliki/do_pobrania/matematyka/Przed_probna_matura_roz_1_2020.pdf następne do treningu

Damian#UDM: dziękuję Eta kochana jesteś! Pozdrawiam serdecznie

Damian#UDM: (0−5) https://drive.google.com/drive/folders/1UyCWF8p4RFQF-6j-bJ10ZtIlqZVR2G-A?usp=sharing W trapezie ABCD dwusieczna kąta przy wierzchołku B, przecina przekątną AC w punkcie P, a krótszą podstawę CD w punkcie E (zobacz rysunek). Wiedząc, że |AB| = 15, |BC| = 9 oraz pole trójkąta ABP jest równe polu powierzchni czworokąta APED, oblicz długość odcinka DE. |DE|=x, |CE|=y, x>0, y>0 Δ_ABP ≈ Δ_PCE → (kkk) |∠ABP|=|∠PEC|=α |∠BAC|=|∠PCE|=β m=|PS|, S∊AB k=|PL|, L∊CD m>0, k>0 m+k=h_ABCD=|LS|=|PS|+|PL|, m>k, h>0

15		y
	=
m		k

	15*m
PΔABP=PAPED=12*15*m=
	2

	15*m		(15+x)
P{ABED}=2*		=15*m=		*h
	2		2

Nie wiem co dalej, proszę o pomoc

Qulka: jeszcze było słowo dwusieczna..... więc AP : PC= ..... więc masz skalę podobieństwa

Qulka: mi wyszło x=15/4

Eta: 1/ z własności dwusiecznej ΔBCE równoramienny to |EC|=|BC|=9 2/ Z podobieństwa ΔABP i EPC (z cechy (kkk)

	15		5
k=		=
	9		3

Punkt P dzieli wysokość na odcinki 3w i 5w P(ABED)= 2P(ABP) −− z treści zadania zatem

	x+15		1
		*8w= 2*		*15*5w
	2		2

..............

	15
x=		= 3,75
	4

==========

ICSP: Nie wiem dlaczego jedna z najstarszych dziedzin nadal jest na maturze

Eta: Planimetria jest piękna, uczy myślenia i odbiega od schematów

Damian#UDM: Racja, Δ równoramienny, nie zauważyłem tego. Dziękuję za pomoc Eta oraz Qulka

Damian#UDM: Myślałem, że będzie więcej problemów z tymi arkuszami, lecz jak na Pazdro to nie były takie złe

Damian#UDM: 7. (0−3) https://drive.google.com/drive/folders/1UyCWF8p4RFQF-6j-bJ10ZtIlqZVR2G-A?usp=sharing Przekątne AC i BD równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie S. Przekątna BD jest prostopadła do boków AD i BC, a |∡BAD| = |∡BSC| (zob. rysunek). Udowodnij, że |AB| = |AD|*√3. W tym zadaniu znalazłem trójkąty podobne oraz wyznaczyłem wszystkie kąty, lecz nie mam pomysłu jak dojść do podanej tezy. Zadanie 15. (0−7) (treść zadania na dysku w linku wyżej) b) Wyznacz dziedzinę funkcji f. c) Wyznacz współrzędne takiego punktu P, dla którego funkcja f osiąga wartość najmniejszą Zastanawiam się jak wyznaczyć dziedzinę funkcji f. Punkt ma leżeć wewnątrz kąta. Narysowałem sobie podaną sytuację. Czy to oznacza, że x ∊ (1,3) ? Szczerze mówiąc nie mam pomysłu jak to algebraicznie wyznaczyć. Proszę o wskazówki oraz pomoc

ICSP: Wyznacz równanie prostej BC i sprawdź w jakim punkcie przetnie się ona z parabolą. Jeśli się nie przetnie to x możesz wziąć dowolnie duże. Od dołu oczywiście musi być x = 1

Saizou : ∡ASD = α ΔABD ~ΔSAD (kkk)

2x		a
	=
a		x

a² =2x²

	√2
x =		a
	2

2x = √2a Z tw. Pitagorasa w ABD |AB|² = a² + (√2a)² =3a² |AB| = a√3 = |AD|√3

Qulka: zadanie 7

a		2x
	=		więc a2=2x2 zatem x=a/√2
x		a

i z większego pitagoras b²=a²+4x² więc b=a√3

Damian#UDM: BC: y=6x−12 Punkt wspólny prostej BC oraz y=x²+2 x²+2=6x−12 x²−6x+14=0 (x−3)²+5=0 Brak punktów wspólnych, zatem dziedzina funkcji jest równa D_f=(1,+oo)

Damian#UDM: Dziękuje Qulka oraz Saizou za pomoc, teraz już wszystko rozumiem Oraz ICSP za cenną wskazówkę

Damian#UDM: (0−6) ON 2020 PR

	4−m
Dla jakich wartości parametru m funkcje f(x)=		oraz g(x)=x2+5x+m, dla x≠0, mają
	x

dokładnie trzy punkty wspólne? Jeśli funkcje f(x) oraz g(x) mają punkty wspólne, to można je do siebie przyrównać f(x)=g(x)

4−m
	=x2+5x+m / *x
x

4−m=x³+5x²+mx x³+5x²+mx+m−4=0 No i co dalej to nie wiem Szukałem miejsc zerowych tego równania lecz nie mogę znaleźć. Proszę o pomoc

?: To trzeba lepiej szukać x³ + 5x² + mx + m − 4 = x³ + x² + m(x + 1) + 4x² − 4 = x²(x + 1) + m(x + 1) + 4(x² − 1) = x²(x + 1) + m(x + 1) + 4(x − 1)(x + 1) = = (x + 1)(x² + m + 4(x − 1)) = (x + 1)(x² + m + 4x − 4) = = (x + 1)(x² + 4x + m − 4) Teraz lepiej?

chichi: Zastanawia mnie jak szukasz miejsc zerowych (pokaz jak je szukałeś) jak od razu widać... Niech W(x)=x³+5x²+mx+m−4, to W(−1)=−1+5−m+m−4=0

Damian#UDM: Dobra, w głowie podstawiałem przy m też −1 i mi wychodziło −2... Wszystko jasne, dziękuję

Damian#UDM: Teraz dalej, jak równanie x²+4x+m−4=0 musi mieć dwa rozwiązania, czyli Δ>0. Δ=16−4*(m−4)=16−4m+16=32−4m=4*(8−m) 8−m>0 ⇔ m<8 m∊(−∞,8) I to jest wszystko? Za to jest aż 6 punktów? chyba jeszcze przyda się warunek x₂≠−1 oraz x₃≠−1

wędkarz: jak się dobrze poszuka, to się znajdzie....ale lepiej iść na ryby

Eta: Dla x²+4x+m−4=0 Δ>0 f(0)≠0 f(−1)≠0

Damian#UDM: Eta czy mogłabyś mi wytłumaczyć z czego wynikają podane przez Ciebie warunki?

chichi: A no pierwiastki muszą być rózne, więc jeśli jeden pierwiastek to (−1) to dwa pozostałe muszą być od niego różne, a drugi warunek widać już w pierwszym przyrównaniu, zobacz co się dzieje

	4−m
dla m=4 tutaj:		=x2+5x+m, czy otrzymamy 3 różne rozwiązania?
	x

Damian#UDM: chichi no wtedy otrzymamy tylko 2 rozwiązania

ICSP: Rozwiązania muszą: 1^o muszą być dwa i do tego różne 2^o muszą być różne od −1 3^o muszą należeć do dziedziny Przyporządkuj sobie strzałeczkami podpunkty 1^o−3^o do warunków które podała Eta.

Damian#UDM: Chyba już rozumiem, dziękuję wam za pomoc

Damian#UDM: (0−5) PR Dodatnie liczby wymierne a, b spełniają równość a³ + 4*a²*b = 4*a² + b⁴ Udowodnić, że liczba √a−1 jest kwadratem liczby wymiernej.

Eta: a³+4a²b=4a²+b⁴ / +4ab² ....................................... otrzymujemy: a(a+2b)² −(2a+b²)²=0 rozkładajac na czynniki: [√a(a+2b)−2a−b²]*[√a(a+2b)+2a+b²]=0 =============== sprzeczność, bo a,b>0 zatem równanie: b²−2√a*b +2a−a√a=0 ma ze względu na"b"rozwiązania wymierne gdy Δ_b =k² −− jest kwadratem liczby k Δ_b= (2√a)²−8a+4a√a = 4a(√a−1) k²=4a(√a−1)

	k2
		=√a−1
	4a

	k
(		)2= √a−1
	2√a

i mamy tezę √a−1= t², t∊W =============

Kacper: Ja mam skojarzenie ze skrótem c.n.d = co należy dokończyć

Eta: Ja też "ciąg dalszy nastąpi "

Damian#UDM: Ja tu myślałem o wyciąganiu przed nawias, a widzę, że trzeba było myśleć o dodaniu czegoś Jestem w szoku, chciałbym widzieć tak szybko rozwiązania i pomysły jak wy Pozdrawiam was kochani!

Damian#UDM: Zapisz w postaci iloczynu wyrażenia 1. cos(α) + cos(5α) + cos(9α) 2. √3 − 2sin(α) proszę o pomoc

Saizou :

	x+y		x−y
1) skorzystajmy ze wzoru na cosx+cosy = 2cos		cos		, zatem
	2		2

	x+9x		x−9x
cosx+cos(9x) + cos(5x) = 2cos		cos		+ cos(5x) =
	2		2

= 2cos(5x)cos(−4x)+cos(5x)=cos(5x)(2cos(4x)+1)

Saizou : 2) hmm... co tutaj chcesz przedstawić w postaci iloczynu? I w jakim celu?

ICSP: Taka jest pewnie treść zadania

	π
√3 − 2sinx = 2(sin(		) − sinx)
	3

i wzór na różnicę sinusów.

Damian#UDM: Zaraz wrzucę tutaj link do dysku z treścią zadania, żeby nie było W pierwszy zsumowałem najpierw cos(α) oraz cos(5α) no i dlatego nie wyszło mi A na drugie aż tak daleko na ten pomysł nie wpadłem. Dziękuję wam za pomoc

chichi: Brak doświadczenia

Damian#UDM: Dziękuje chichi za motywację do dalszych działań

Damian#UDM: https://drive.google.com/drive/folders/1UyCWF8p4RFQF-6j-bJ10ZtIlqZVR2G-A?usp=sharing tuta link do treści zadania

ello: zad 7/ ΔABD ∼BCS z cechy (kkk)

	b		2e
to		=		⇒ b=e√2
	e		b

z tw. Pitagorasa w ΔABD a²=b²+4e² a=√6e=√2*√3e ⇒ a= √3 b |AB|=√3|AD| ==========

mydlix: Mnie w szkole uczą pisać: c.k.d. − co kończy dowód. Ale chyba najważniejsze, żeby był on poprawny, a nie jakim skrótem go zakończymy.

ello: 1/ ΔBCF równoramienny |EC|=|BC|=9

	15		5
2/ ΔABP ∼ΔECP (kkk) w skali k=		=
	9		3

	x+15		1
P(ABED)=		*8w =2P1 P(APB)=		*15*5w
	2		2

....................... x+15=75/4 x=..........

Damian#UDM: ello to zadanie już było robione, chodziło tylko o iloczyny. Lecz dziękuję za Twoją pracę Pozdrawiam

getin: Bardziej na konkurs niż na maturę, ale spróbujcie: Dla każdego naturalnego n≥1 dany jest ciąg a_n = 20212021n+20212021+20212022a_20212020 Oblicz a_20212021

ite: getin czy odpowiedź to 0 ?

getin: Tak, wynik to zero Wynik do tego zadania jest liczbą która pokazuje, ile warte jest zdalne nauczanie

Mila: Kogo obwiniasz getin ?

ite: Za surowo oceniasz. Naprawdę wysiłek tych, którzy prowadzą zdalne i tych, którzy pomimo trudności uczą się w taki sposób, ma niezerową wartość.

Saizou : Niech p = 20212021, wówczas a_n = pn + p + (p+1)a_p−1 dla n = p−1 mamy a_p−1 = p(p−1) +p+(p+1)a_p−1 → a_p−1 = −p dla n = p mamy a_p = p² + p + (p+1)(−p) = 0 a_20212021 = 0

Goblin: Kiedy ktoś sądzi że jest lepszy od innych , Uśmiechnij się tylko i nie psuj marzeń temu pierwszemu

getin: dla jasności, w żadnym wypadku nie winię nauczycieli bo oni są Bogu ducha winni, winię tych, którzy przyczynili się swoimi decyzjami do wprowadzenia pomysłu zamknięcia szkół

Qulka: przez lata wszyscy moi maturzyści marzyli jak im byłoby lepiej gdyby nie musieli biegać do szkoły... .. Rozporządzenie MEN z 2017r.: (jeszcze nie było mowy o pandemii) uczeń ma : myśleć, czytać, komunikować się , kreatywnie rozwiązywać problemy, posługiwać się TIK, samodzielnie docierać do informacji, być systematyczny pracować w grupie zamknięcie szkół temu nie przeszkadza a nawet bardzo pomaga... świat się zmienia coraz szybciej.. pokolenia się zmieniają coraz szybciej.. nie oceniajmy przez swój pryzmat co jest potrzebne i dobre obecnie... bo naprawdę nie wiemy co będzie potrzebne za chwilę ... i tak to co nam się wydaje, że szkoła miała dać uczniom to już dawno przeżytek ..

getin: coś w tym jest... na wyciszenie się i uspokojenie nastrojów podam zadanie... na dziś lub jutro, dla chętnej lub chętnego W urnie U jest 6 kulek: 2 białe i 4 czarne. Losujemy jedną kulę z tej urny. O ile % wzrosłoby prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kulki gdyby przed losowaniem dołożono do tej urny U jeszcze dodatkowe 2 czarne kulki ?

Qulka: o 12,5%

getin: To jeszcze takie.. może być trochę męczące i nużące no ale już późno jest i trzeba iść spać... W trójkącie ABC o bokach |AB| = 7, |BC| = 5, |AC| = 3 i kącie ACB równym 120^o poprowadzono z wierzchołka C: − wysokość CK − dwusieczną kąta ACB która przecięła bok AB w punkcie L − środkową CM a) oblicz |CK|

	|LM|
b) oblicz stosunek długości
	|MB|

Qulka: a) 15√3/14 b)1/4

getin: Tak dokładnie wychodzi.. więc teraz takie: W trójkącie ABC mamy |AB| = x, |BC| = 6, |AC| = 5. Odchylenie standardowe trzech liczb: |AB|,

	√42
|BC|, |AC| wynosi
	3

Oblicz długość boku AB

Saizou : Warunki z nierówności trójkąta mamy x+6>5 i x+5>6 i 5+6>x i x>0 x > −1 i x> 1 i 11>x i x>0 ⇒x ∊ (1, 11)

	√42
odchylenie standardowe: δ =
	3

	42		14
wariancja: δ2 =		=
	9		3

	x+5+6		x+11
średnia arytmetyczna: d =		=
	3		3

14		x+11   x+11   x+11   (x− )2 + (5− )2 + (6 − )2   3   3   3
	=
3		3

	2x−11		4−x		7−x
14 = (		)2 + (		)2 + (		)2
	3		3		3

9*14 = (2x−11)² + (4−x)² + (7−x)² 9*14 = 4x² − 44x +121 + 16 − 8x + x² +49 −14x + x² x = 1 ∉ (1,11) lub x = 10 ∊ (1,11) |AB| = 10

getin: Teraz coś dla maniaków wielomianów i delty: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których suma kwadratów różnych rozwiązań x₁, x₂ równania x² + 2m*x + m³+2 = 0 jest mniejsza od 28

6latek: 1) Δ>0 4m²−4m³−8>0 −4m³+4m²−8>0 m³−m²+2<0 dla m=−1 m³−m²+2=0 (m³−m²+2)/(m+1)= m²−2m+2 m³−m²+2=(m+1)(m²−2m+2)<0 ⇔m+1<0 to m<−1 bo m²−2m+2 stale dodatnie Δ>0 dla m∊(−∞,−1) 2)x₁²+x₂²<28 (−2m)²−2(m³+2)<28 4m²−2m³−4<28 −2m³+4m²−4<28/:(−2) m³−2m²+2>−14 m³−2m²+16>0 dla m=±1≠0 dla m=2 8−8+16≠0 dla m=−2 −8−8+16=0 (m³−2m²+16)/(m+2)=m²−4m+8 m³−2m²+16=(m+2)(m²−4m+8)>0 ⇔m+2>0 to m>−2 bo m²−4m+8 jest stale dodatnie x₁²+x₂²<28 dla m∊(−2,∞) Dla m∊(−2,−1) suma kwadratow pierwiastkow roznych tego rownania jest mniejsza od 28 .

Damian#UDM: https://drive.google.com/drive/folders/1fdnA_CwbjFnIKn4mlfMLwjAhmIKhwbQ8?usp=sharing dowód geometryczny (0 − 3) PR ZI 2021 III Na bokach trójkąta zbudowano kwadraty o polach P1, P2 i P3 (zobacz rysunek) Wykaż, że

	1
P1 + P2 >		P3.
	2

Czy można to zadanie wykazać za pomocą twierdzenia Pitagorasa? dla 90<α<180 stopni a² + b² < c² , lecz a² + b² > ¹₂c² dla 0<α<90 stopni a² + b² > c² oraz a² + b² > ¹₂c² dla α=90 stopni a² + b² = c² oraz a² + b² > ¹₂c² Czy takie rozumowanie jest poprawnie przeprowadzone?

ICSP: jakie "rozumowanie" ? Tutaj nie ma żadnego rozumowania.

Damian#UDM: a czy może być takie rozwiązanie tego zadania?

Minato: Nie może, bo nic nie dowiodłeś.

Minato: P₁ = a² P₂ = b² P₃ = c², wówczas mamy do udowodnienia nierówność równoważną:

	1
a2 + b2 >		c2
	2

Z nierówności trójkąta a + b > c Z nierówności między średnimi

	a2+b2		a+b
√		≥
	2		2

	a2+b2		c
√		>
	2		2

a2+b2		c2
	>
2		4

	1
a2 + b2 >		c2
	2

Qba: Pola kwadratów: P₁ = a², P₂ = b², P₃ = c². Z nierówności trójkąta: a + b > c obustronnie do kwadratu: a² + b² + 2ab > c² oczywista nierówność: (a − b)² ≥ 0 stąd a² + b² − 2ab ≥ 0 + −−−−−−−−−−−−−−− 2a² + 2b² > c²

	1		1
zatem a2 + b2 >		c2, wobec tego P1 + P2 >		P3
	2		2

Damian#UDM: Bardzo dziękuję wam za pomoc

Damian#UDM: https://drive.google.com/drive/u/0/folders/1fdnA_CwbjFnIKn4mlfMLwjAhmIKhwbQ8 12. (0 − 5) dowód geometryczny ZI 2021 PR Na bokach trójkąta ABC zbudowano kwadraty ABKL, BCMN i CAOP (zobacz rysunek). Kąty BAC i ABC są ostre oraz suma ich tangensów jest równa ³₂. Wykaż, że jeżeli pole kwadratu ABKL jest trzy razy większe od pola trójkąta ABC, to suma pól kwadratów BCMN i CAOP tez jest trzy razy większa od pola trójkąta ABC.

Qba:

	1		k
Pole trójkąta prostokątnego P =		ab. Jeśli tgα + tgβ =		, k>0
	2		2

a		b		k		1
	+		=		/*ab, a2 + b2 = k*		ab = kP = c2.
b		a		2		2

W tym przykładzie k = 3

Oba: .... Qba

Qba:

Oba:

pawik:

Damian#UDM: Tylko my nie wiemy czy to jest trójkąt prostokątny. Więc można tak zadanie rozwiązać?

ICSP:

	3		c2
Wiemy, że tgα + tgβ =		oraz, że PΔ =		i mamy pokazać, że ten trójkąt jest
	2		3

prostokątny. Z twierdzenia sinusów:

	a		b
sin(α + β) =		=
	csinα		csinβ

	1		sinαsinβc2		c2
P =		absin(α+β) =		=
	2		2sin(α+β)		3

Stąd

sinαsinβ		2
	=
sin(α+β)		3

	3
Z warunku tgα + tgβ =		dostajemy
	2

	3
sin(α + β) =		cosαcosβ
	2

Dlatego mamy

	2		2		3
sinαsinβ =		sin(α + β) =		*		cosαcosβ
	3		3		2

cos(α + β) = 1

	π
α + β =
	2

I to jest nasza teza.

ICSP: Eta przyjdzie to poda łatwiejszy sposób.

ICSP: Powinno być: cos(α + β) = 0

Saizou : Alternatywny dowód:

	k
tgα =
	x

	k
tgβ =
	y

3		k		k		x+y		kc
	=		+		= k(		) =
2		x		y		xy		xy

3xy = 2kc −−−−−−−−−−− P − pole trójkąta ABC, zatem pole ABED jest równe

	1
kc = 2P → P =		kc
	2

−−−−−−−−−−−

	4
3xy = 4P →xy =		P
	3

−−−−−−−−−−− Z treści zadania c² = 3P

	1
c2 = 3*		kc
	2

	2
2c = 3k → k =		c
	3

−−−−−−−−−−− Z tw. Pitagorasa b² = k² + x² a² = k² + y² ================+ a²+b² = 2k² +x²+y² = 2k²+(x+y)²−2xy =

	4		4		17		8		17−8
= 2*		c2 + c2 − 2*		P =		*3P −		P =		P = 3P
	9		3		9		3		3

a²+b²=3P co należało pokazać

Eta: Ze wzoru na pole dowolnego trójkąta

	1	c2		3
P=			i tgα+tgβ=
	2	ctgα+ctgβ)		2

	c2tgα*tgβ		c2
P=		=
	3		3

zatem tgα*tgβ=1 sinα*sinβ−cosα*cosβ=0 cos(α+β)=0 α+β=90^o = γ ΔABC prostokątny i dalej jak podał Qba

Eta:

	1		c2
P=		*
	2		ctgα+ctgβ

ICSP: Właśnie wystarczyło pokazać, że trójkąt jest prostokątny Teza to tak naprawdę twierdzenie Pitagorasa.

Qba: Liczbę 3 można tu zamienić na inną liczbę

Damian#UDM: 14. (0 − 5) PR ZI 2021 IV Zadanie z równoległobokiem w układzie współrzędnych z parametrem. Wyszły mi ogromne pierwiastki, więc proszę o pomoc

chichi:

	1
W parę sekund dochodzimy do równania postaci |m(m−2)|=		, rozwiąż je
	3

Damian#UDM:

	√10
Tylko iloczyn tych wysokości jest równy		więc nie wiem skąd wzięła się 13
	15

Damian#UDM: Dziękuję Eta , ICSP , Saizou oraz Qba za rozwiązanie wcześniejszego zadania

Damian#UDM: https://drive.google.com/drive/u/0/folders/1fdnA_CwbjFnIKn4mlfMLwjAhmIKhwbQ8 − treść zadania znajduje się tutaj

chichi: Stąd:

|−2m−(−m)|		|1−(−m+3)|		√10
	*		=
√14+1		√1+1		15

|−m|		|m−2|		√10
	*		=
√5   2		√2		15

2|m|*|m−2|		√10
	=
√10		15

30|m(m−2)|=10

	1
|m(m−2)|=
	3

Damian#UDM: No tak, przyjąłem sobie, że sytuacja jest podobna, gdy równoległobok byłby równoległy do osi O_x, a przecież tak nie jest. Dziękuję za rozjaśnienie

Damian#UDM: 6. (0−3) ZI 2021 PR V Przekątne czworokąta wypukłego ABCD dzielą go na cztery trójkąty. Wykaż, że jeżeli promienie okręgów opisanych na tych czterech trójkątach są równe, to w czworokąt ABCD można wpisać okrąg. Skorzystałem z twierdzenia sinusów w każdym trójkącie i wyszło mi, że |AB|=|CD|=a oraz |BC|=|AD|=b |∡ASB|=|∡CSD|=α oraz |∡ASD|=|∡BSC|=β Zatem otrzymałem równoległobok. Żeby wykazać, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg to mu zajść warunek a + a=b + b A jak do tego dojść to już nie wiem Proszę o pomoc. 7. (0−3) ZI 2021 PR V Liczby rzeczywiste a, b spełniają warunek a³+3a²+3a=8b³+12b²+6b. Wykaż, że a=2b Po przekształceniach otrzymałem (a−2b)*[(a+1)²+(a+1)*(2b+1)+(2b+1)²]=0 a−2b=0⇔a=2b, czyli otrzymałem pożądany warunek, a z drugiego równania [(a+1)²+(a+1)*(2b+1)+(2b+1)²]=0 dla a=−1 oraz b=−¹₂ zachodzi równość 0=0 i zauważyłem, że −1=2*(−¹₂) , czyli a=2b Czy zadanie zostało poprawnie rozwiązane ? 9. (0−3) ZI 2021 PR V Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD, w którym |BC| = 5√2. Okrąg opisany na trójkącie ABD przecina prostą CD w takim punkcie E, że |AE| = 10 i |∡AED| = 45◦. Oblicz długość podstawy CD trapezu ABCD. Tutaj dzięki kątom wpisanym i środkowym, zauważyłem kąty proste i wyszło mi, że promień okręgu opisanego na trójkącie ABD jest równy 5. Lecz również otrzymałem sprzeczność, gdyż otrzymałem, że |BE|=|BC|=5√2, a trójkąt BEC jest prostokątny. Więc proszę o pomoc

chichi: a³+3a²+3a=8b²+12b²+6b / +1 a³+3a²+3a+1=8b²+12b²+6b+1 (a+1)³=(2b+1)³ a+1=2b+1 a=2b Q.E.D. Zerknę na resztę po zajęciach

Damian#UDM: No tak, można było od razu spierwiastkować, zamiast rozpisywać ze wzoru a⁻b³. Dziękuję za uwagę

Damian#UDM: Rozpisywać ze wzoru a³−b³

Saizou : Damian załóż nowy post, bo tutaj już się tasiemiec robi. Z kątów opartych na tym samym łuku <ABD = < AED = α = 45 Trapez ABED jest wpisany w okrąg, zatem jest to trapez równoramienny. Trójką AFE to trójkąt 'ekierokowy' → AF = FE = 5√2 Skoro AF = BC → BC jest wysokością trapezu. Trójkąt BDC jest trójkątem ekierkowym, zatem CD=BC = 5√2

Saizou : β = 180−α sinβ = sin(180−α)=sinα Z tw. sinusów

AB
	= 2R → AB = 2Rsinα
sinα

DC
	= 2R → DC = 2Rsinα
sinα

BC
	= 2R → BC = 2Rsinα
sinβ

AD
	= 2R → AD = 2Rsinα
sinα

WNIOSEK: ABCD jest rombem, zatem można opisać na czworokącie ABCD okrąg

Damian#UDM: To ostatnie rozwiązane zadanie już wiem. Zamiast β to mogłem zapisać 180−α i ze wzoru redukcyjnego na sinus sin(180−α)=sin(α) Sam sobie roboty i problemów robię Dziękuje wam za pomoc!

Saizou : Na zdrowie

Damian#UDM: Zastanawiam się nad jedną rzeczą, a mianowicie jaka jest dziedzina funkcji f(x)=logx² ? To jest to samo co 2logx Czy dziedzina dla obu wyrażeń to x>0 ?

Qulka: takie działanie można zrobić tylko dla x>0

Damian#UDM: A jak nie muszę tego działania wykonywać to wtedy mam R/{0} ?

Damian#UDM: 13. (0−5) PR ZI 2021 Punkt S jest punktem przecięcia się środkowych trójkąta równoramiennego ABC o podstawie AB. Okrąg o średnicy AB ma równanie x²+y²+12x−10y+44=0, a cięciwa tego okręgu równoległa do prostej AB i przechodząca przez punkt S zawiera się w prostej o równaniu x − y + 14 = 0. Wyznacz równanie okręgu o środku C, który przechodzi przez punkty A i B. Równanie pierwszego okręgu (x+6)²+(y−5)²=√17 a dalej musiałem gdzieś zrobić błędy, proszę o pomoc

ICSP: f(x) = log(x²) , D : x ∊ R \{0} f(x) = 2log|x| −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− g(x) = 2log(x) , D : x > 0 g(x) = log(x²)

Damian#UDM: Wszystko rozumiem, dziękuję

Saizou : Damian załóż nowy post, bo ten już robi się tasiemcowaty

Qulka: skąd wytrzasnąłeś takie brzydkie cyferki że wszystko jest z pierwiastkami Równanie pierwszego okręgu (x+6)²+(y−5)²=17 S(−15/2 ; 13/2 ) A(−6−√17/2;5−√17/2) B(−6+√17/2;5+√17/2) C(−21/2 ; 19/2) r drugiego =AC policz sobie

Damian#UDM: Saizou oczywiście tak zrobię Qulka mój błąd. promień w równaniu miał być bez pierwiastka. Taki sam błąd zrobiłem na maturze w maju 2017 roku w 13. zadaniu za 5 punktów. W odpowiedzi w równaniu okręgu zamiast r² to dałem samo r − no i już punkty lecą. Niestety. Punkty A i B wyszły mi takie same. Tylko nie mogę znaleźć kartki, gdzie to zadanie rozwiązywałem. Zrobię jeszcze raz i spytam się was gdzie jest moje błędne myślenie

Qulka: to jak chcesz robić jeszcze raz od początku to zrób takie Punkt S jest punktem przecięcia się środkowych trójkąta równoramiennego ABC o podstawie AB. Okrąg o średnicy AB ma równanie x2+y2+12x−10y+43=0, a cięciwa tego okręgu równoległa do prostej AB i przechodząca przez punkt S zawiera się w prostej o równaniu x − y + 15 = 0. Wyznacz równanie okręgu o środku C, który przechodzi przez punkty A i B. chyba się wtedy zrobi równiej

Damian#UDM: Dobra, mam. Punkt O jest środkiem odcinka AB i ma współrzędne (−6,5), promień tego okręgu to r=√17. Na prostej k:y=x+14 leży punkt S=(x,x+14) − w sumie nie wiem po co ten punkt jest podany Prosta, prostopadła do odcinka AB ma równanie y=−x−1, czyli punkt C ma współrzędne C=(x,−x−1) i teraz współrzędne punktu C mogę policzyć z równania.... i tego właśnie nie wiem Ale chyba już wiem − po to jest ten punkt podany, bo wtedy wysokość dzieli się w stosunku 2:1 A długość odcinka SO to 3, więc CS to 6 i z tego równania powinny wyjść współrzędne, zobaczymy.

Damian#UDM: S mi wyszedł (−7,5;6,5) i wtedy |SO|=3, czyli |CS|=6 i z tego równania wychodzi mi (x+¹⁵₂)²=18 więc chyba niestety coś źle

Damian#UDM:

	3√2
|SO|=		, czyli jednak nie mogę tego odczytać z odległości między prostymi
	2

y=x+11 oraz y=x+14, no trudno

Qulka: możesz ..odległość między równoległymi prostymi (tylko zapisanymi w postaci ogólnej) to

	C1−C2
d=
	√A2+B2

Qulka: czyli u Ciebie 3/√2

Qulka: i tak..CS=2SO więc masz C i potem CA to r

Damian#UDM: Równanie okręgu wyszło mi (x+²¹₂)²+(y−¹⁹₂)²=¹¹⁵₂

Qulka: i C leży na prostopadłej do AB przez O

Damian#UDM: Myślę, że jest ok Super, dziękuję Qulka za ten wzór, bo ja po prostu odejmowałem współczynniki b, tak jak w przypadku prostych na przykład y=7 orz y=4, ale teraz widzę, że to tak nie działa Zapisuje sobie ten wzór