pochodna Traktorek: oblicz pochodną: sin³(ln(x²+1)+cosx) Jak to policzyć?

Filip:

	d
= 3sin2(ln(x2 + 1) + cosx)cos(ln(x2 + 1) + cosx)		(ln(x2 + 1) + cosx)
	dx

	d   (x2 + 1) dx
= 3sin2(ln(x2 + 1) + cosx)cos(ln(x2 + 1) + cosx)(		− sinx)
	x2 + 1

	2x
= 3sin2(ln(x2 + 1) + cosx)cos(ln(x2 + 1) + cosx)(		− sinx)
	x2 + 1

Traktorek: dzięki

Traktorek: a pochodna z ln³(√x²+1+cosx) to będzie

−2x*sinx		1
	* 3ln2(√x2+1+cosx)*		*(x2+1)−1/2?
√x2+1+cosx		2

Filip:

	d
= 3ln2(√x2 + 1 + cosx)		(ln(√x2 + 1 + cosx})
	dx

	d   (√x2 + 1 + cosx) dx
= 3ln2(√x2 + 1 + cosx)
	√x2 + 1 + cosx

	x   ( − sinx)   √x2 + 1
= 3ln2(√x2 + 1 + cosx)
	√x2 + 1 + cosx

Traktorek: a pochodna z 3ln²x+ln³x?

Filip:

	6lnx		3ln2x
=		+
	x		x

Filip:

	d		d
= 6lnx		lnx + 3ln2x		lnx
	dx		dx

Traktorek: tutaj mam dobrze, ale teraz mam wyznaczyć przedziały monotoniczności, ekstrema lokalne i globalne, czyli trzeba to przyrównać do zera?

6latek: ln²x= lnx*lnx wzor na pochodna iloczynu

	1		1		lnx		lnx		2lnx
(lnx)'*lnx+lnx*(lnx)'=		*lnx+lnx*		=		+		=
	x		x		x		x		x

masz juz (ln²x)' to ln³x= lnx*ln²x licz tak samo z tego wzoru na pochodna iloczynu

Filip: tak

Filip: Równanie proste do rozwiązania 6lnx + 3ln²x = 0 3lnx(2 + lnx) = 0 lnx = 0 v 2 + lnx = 0

Traktorek: i wychodzi x=1 lub x=e⁻²

Filip: dokładnie

Traktorek: tylko jestem ograniczony do przedziału od e⁻³ do √e i mam problem z tymi przedziałami monotoniczności

Traktorek: wiem że jak pochodna jest dodatnia to funkcja rośnie itd., ale źle mi się liczy na tych liczbach

Filip: f(x) = 3lnx²x + ln³x, x > 0, x ∊ (e⁻³, √e)

	6lnx		3ln2x
f'(x) =		+
	x		x

6lnx + 3ln²x = 0 x = 1 v x = e⁻² f_↗ w przedziałach (−∞, e⁻²), (1, +∞) (−∞, e⁻²), (1, +∞) ⋀ (e⁻³, √e) f_↗ w przedziałach (e⁻³, e⁻²), (1, √e) f_↘ w przedziale (e⁻², 1)

Traktorek: a ile powinny wyjść ekstrema?

Filip: ja tutaj założyłem, że przedział to (e⁻³, √e) a zapewne przedział wygląda tak <e⁻³, √e> Jeśli to drugie to polecam sprawdzić 4 punkty: f(e⁻³) = ... f(e⁻²) = ... f(1) = ... f(√e) = ...

Traktorek: tak, oczywiście to drugie jest obowiązujące

Filip: No to masz: f(e⁻³) = 3ln²e⁻³ + ln³e⁻³ = 27 − 27 = 0 f(e⁻²) = 3ln²e⁻² + ln³e⁻² = 12 − 8 = 4 f(1) = 3ln²1 + ln³1 = 0

	6		1		7
f(√e) = 3ln2√e + ln3√e =		+		=
	8		8		8

f_min = 0 f_max = 4