Przekształcenia funkcji Mela: Skąd wiadomo jak wygląda dana funkcja i gdzie jest rosnąca lub malejąca, jeśli ma wzór np. g(x)=e do potęgi f(x), gdzie np. f(x) ma jakieś ekstrema i jest malejąca/rosnąca?

Saizou : e^y jest rosnąca dla każdego y∊R

Mela: Więc..?

Jerzy: @Mela,to cię przerasta. Od początku. Jeśli g’(x) = e^f((x)*f’(x), to wobec faktu,że :e^f(x) > 0, cała pochodna g’(x) zachowuje się tak jak f’(x). Jeśli f’(x) = 0, to g’(x) = 0.Jeśli f’(x) > 0 , to g’(x) >0

Mela: A jeżeli g'(x) > 0 to gdzie ta funkcja ma ekstrema I jaka jest jej monotoniczność?

Mela: *gdzie funkcja g(x) ma ekstrema I jaka jest monotoniczność względem funkcji f(x)

Jerzy: Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum jest g’(x) = 0 ,a wystarczającym zmiana znaku pochodnej w punkcie jej zerowania. Tam , gdzie g’(x) > 0 funkcja jest rosnąca i odwrotnie.

Jerzy: Nie ma pojęcia „rosnąca względem funkcji f(x)

Mela: Napiszę może treść tego zadania Mamy funkcję f(x) różniczkowalną i ujemną na całej jej dziedzinie. Funkcja ta posiada ekstremum minimum w punkcie x1, a maksimum w punkcie x2 i jest rosnąca w przedziale (a,b). Funkcja g(x) określona wzorem: g(x)=e^f(x): a) jest rosnąca w przedziale (a,b) b) malejąca w przedziale (a,b) c) ma minimum w punkcie x₁ d) ma minimum w punkcie x₂ e) ma maximum w punkcie x₁ f) ma maximum w punkcie x₂ g) nie ma w ogóle ekstremum

Jerzy: „pobaw” się funkcją: g(x) = e^x2, to przypadek funkcji g(x) = e^f(x), gdzie f(x) = x²

Mela: Próbowałam tak podstawiać jakąś funkcję tak jak np. x², ale nie wiem czy tak wolno

Jerzy: Przecież f(x) może być dowolną funkcją.

Mela: No nie do końca, skoro jej wartości są tylko ujemne

Jerzy: Przeanalizuj funkcję g(x) = e^x2.To prosty przykład i może cię oświeci.

Mela: Coś ta metoda nie działa, bo podobny powinna mieć w tym samym miejscu ekstrema, a nie ma

Jerzy: D = ? Policz pochodną.

Mela: No z pochodnych wychodzi, ale w programie do rysowanie funkcji nie

Jerzy: Chcę ci pomóc, jaka jest pochodna tej funkcji ?

Mela: Pochodna tej e do x² to e^x2*2x, a x² to po prostu 2x

Jerzy: Dobra, g’(x) = 2xe^x2.czy ta pochodna ma miejsca zerowe ?

Mela: Jedno x=0

Jerzy: OK.Czyli tam może być ekstremum. Od czego zależy znak pochodnej ?

Mela: Znak? Nie rozumiem

Jerzy: Kiedy pochodna jest dodatnia,a kiedy ujemna ?

Mela: Dodatnia jest kiedy wartości są dodatnie, a ujemna kiedy ujemne

Jerzy: Trafne spostrzeżenie,ale pytam o znak pochodnej z 19:21

Mela: Najpierw jest ujemna, a po 0 zmienia znak

Mela: Czyli tam jest minimum

Jerzy: Tak,zależy od fukcji y = x czyli w x = 0 zmienia znak z − na +,a więc funkcja ma minimum lokalne.

Mela: Tak jest

Jerzy: I po temacie,jeszcze policz to minimum, granice na końcach dziedziny i szkicuj wykres.

Mela: Wyszło mi, że ekstrema I monotoniczność się pokrywają w obu funkcjach

Jerzy: W jakich dwóch funkcjach ?

Mela: Ta g(x) ma takie same ekstrema jak f(x)

Jerzy: Nie.Policz jedno i drugie.

Mela: No policzyłam i g'(x) po przyrównaniu do 0 daje x=0 tak samo jak f'(x)

Jerzy: Mówimy o mijscach zerowych funkcji. f(x) = x² ma minimum równe 0 f(x) = e^x2 ma minium równe 1

Mela: To ja już się poddaję

Mela: @Jerzy, czyli w poprzednim poście ktoś mi dal złą odpowiedź, bo napisał, że będą miały ekstrema w tych samych miejscach, tak?

Jerzy: @Mela, te dwie funkcje mają ekstrema w tym samym pynkcie, czyli: x = 0,ale: f(x) = x² ma w zerze minimum równe 0, natomiast g(x) = e^x2 ma w punkcie x = 0 minimum równe 1

Mela: Czyli wszystko jest dobrze.. nareszcie

Mela: Zrobiłam jeszcze to zadanie w wersji z minusem przed e, a drugie zadanie z f(x)=x² i g(x)=e^−x2 i w obu zadaniach ekstrema wychodziły na różne (w jednym 0 było minimum, a w drugim maksimum) i tak samo z monotonicznością Więc mam nadzieję, że to jest dobrze