Wykaż, że funkcja przyjmuje zawsze wartości dodatnie Maciek: Witam, mam problem z wykazaniem, że funkcja f(x)= 6x⁴+6x³+6x²+6x+8 jest zawsze dodatnia. Potrzebuję tej informacji, gdyż mam znaleźć miejsca zerowe funkcji g(x)= 6x⁵+2x−8, no i pomimo, że wiem że tylko x=1 jest pierwiastkiem, to nie mam pojęcia jak uzasadnić pozostałą część r−nia.

ICSP: Suma funkcji rosnących jest funkcją rosnącą.

Maciek: I jak to rozwiązuje problem, bo nadal nie rozumiem?

ICSP: W ilu miejscach funkcja rosnąca może przeciąć funkcję stała?

6latek: Witaj ICSP Jak zrobilem wykres funkcji f(x) to ona jest zarowno i malejaca i rosnaca Widac tez z przepisu ze jakikolwiek podstawisz x to wartosc tej funkcji bedzie dodatnia

ICSP: Nie miałem na myśli funkcji f.

Jerzy: @ICSP, ja tam widzę tylko dwie funkcje rosnące. Cześć Krzysztof No nie bardzo widać

Maciek: Funkcja f(x) posiada ekstrema lokalne i tak jak 6latek nadmienił jest ona niemonotoniczna w R, tak więc nie rozumiem sumy funkcji rosnącej i niemonotonicznej. Gdy próbowałem liczyć pochodną ale tam wychodzą pierwiastki rzeczywiste których nie idzie obliczyć dokładnie (przynajmniej tak mi się wydaje na poziomie licealnym)

ICSP: Funkcja g jest funkcją rosnącą jako suma dwóch funkcji rosnących. Dlatego może mieć tylko jeden pierwiastek. Jak już sprawdziłeś x = 1 jest jej pierwiastkiem.

Jerzy: Funkcja rosnąca może przyjmować wartości ujemne.

Maciek: Jakich dwóch funkcji rosnących?

ICSP: np h(x) = 6x⁵ i(x) = 2x − 8 obie funkcje są funkcjami rosnącymi, więc g(x) = h(x) + i(x) również jest funkcją rosnącą.

Jerzy: @Maciek, może wyjaśnij , co ma funkcja g(x) do funkcji f(x) ?

Jerzy: 16:30, a jak to się ma do tego zadania ?

ICSP: g(x) = (x−1)*f(x) i chce pokazać, że f nie ma pierwiastków (jest zawsze dodatnia). Ja wolę pokazać, że g ma tylko jeden pierwiastek a następnie go znaleźć.

Maciek: Pierwotne zadanie: obliczyć wartość min funkcji √x⁶+x²−8x+16 . Zatem pierwiastek najmniejszy <==> wartość pod pierwiastkiem najmniejsza. Liczę zatem pochodną: 6x⁵+2x−8 (którą akurat oznaczyłem g(x) ) no i jej miejsca zerowe, czyli jedno z tw o pierw wymiernych x=1 jest miejscem zerowym, pozostaje zatem: 6x⁴+6x³+6x²+6x+8. Zatem związek f(x) i g(x): g(x)=(x−1)*f(x)

Maciek: Czyli np. gdybym miał funkcję f(x)=x³+x, to mógłbym zapisać że f(x) = g(x) + h(x), gdzie g(x)=x³, h(x) = x, i ponieważ funkcje g i h są rosnące, więc funkcja f(x) tez jest rosnąca w R, czyli ma tylko jedno miejsce zerowe?

6latek: Panowie A jesli zrobilby tak W(x)=6x⁴+6x³+6x²+6x+8 NIe ma tutaj zmiany znakow wiec z reguly Kartezjusza nie ma rzeczywistych pierwiastkow dodatnich W(−x)= 6x⁴−6x³+6x²−8x+8 Nie ma zniany znakow wiec takze zgodnie z ta regula nie ma ujemnych pierwiastkow rzeczywistych nalezaloby to rozwiazywac w liczbach zespolonych (a to nie poziom liceum, technikum) Tylko jaki to ma zwiazek z tym ze przyjmuje tylko wartosci dodatnie

Maciek: Mógłbyś wyjaśnić brak zmiany znaków dla w(−x) bo nie za bardzo łapię

ICSP: To, że funkcja jest rosnąca nie oznacza, że ma miejsce zerowe. Dla przykładu: f(x) = 2^x. Natomiast jeśli jest rosnąca to może mieć maksymalnie jedno miejsce zerowe. Rozumowanie dla funkcji f(x) = x³ + x z godziny 16:41 jest poprawne.

6latek: +i − daje (−) − i + daje (−) + i (−) daje − (−) i + daje −

ICSP: Pochodna g'(x) = 6x⁵ + 2x − 8 Jest funkcją rosnącą. g'(1) = 0 W okolicy x = 1 następuje zmiana znaku z minusa na plus zatem znajduje się tam minimum lokalne równe g(1) = 1² + 3² = 10 Pamiętając o tym, że szukamy minimum lokalnego funkcji f: f(x) = √x⁶ + x² − 8x + 16 mamy jej minimum lokalne równe √10

ICSP: Przecież w wielomianu 6x⁴ − 6x³ + 6x² − 8x + 8 masz 4 zmiany znaku. Zatem wielomian ma 4 lub 2 lub 0 ujemnych pierwiastków.

6latek: Ok ICSP Musze doczytac w takim razie .

Maciek: Dokładnie tego nie rozumiałem, bo według mnie też tam znaki się przecież zmieniały (16:54) Czyli rozumiem, że podobnie jak wcześniej zrobiłem rozumowanie, tak i teraz funkcje 6x⁵ i 2x−8 są rosnące, zatem 6x⁵+2x−8 jest rosnąca, czyli albo ma miejsce zerowe, i wtedy jedno i tylko jedno, albo jest zawsze rosnąca i ponad osią OX, jak wykładnicza 2^x. No i na tej podstawie znając miejsce zerowe tej funkcji wykluczamy istnienie innych, z czego mamy min lokalne w jedynce. A co jeżeli pochodna wyszłaby, załóżmy, 6x⁴+6x³+6x²+6x+8, wtedy nie mamy żadnego miejsca zerowego znanego, czyli wahamy się między 1 a brakiem miejsca zerowego. Jaki jest sposób rozwiązania tej zagadki?

ICSP: 6x⁴ + 6x³ + 6x² + 6x + 8 = 3x⁴ + [3x⁴ + 6x³ + 3x²] + [3x² + 6x + 3] + 5 = = 3x⁴ + 3(x² + x)² + 3(x+1)² + 5 > 5 > 0

ICSP: 6x⁴ + 6x³ + 6x² + 6x + 8 =6(x⁴ + x³ + x² + x + 1) + 2 =

	1		1		1
= 6[		x2 + (x2 +		x)2 + (		x + 1)2] + 2 > 2 > 0
	2		2		2

Pewnie można znaleźć jeszcze więcej rozkładów.

Maciek: Teraz elegancko, wyjaśniałoby to też, że (x−1)*[ 3x⁴ + 3(x²+x)² + 3(x+1)² + 5 ] ma jeden pierwiastek, gdyż przez ten cały drugi czynnik możemy obustronnie podzielić r−nie Dzięki za odpowiedzi, a o regule znaków Kartezjusza poczytam, bo mnie całkiem zainteresowało. Pozdrawiam