Pole ograniczone krzywymi Adrian: Wyznacz wartość parametru t (t > −1) dla którego pole obszaru ograniczonego krzywymi jest równe ¹₃ (to jest jedna trzecia, nie wiem czy widać) y= 9x²−tx+5 y= x−5

Filip: 9x² − tx + 5 = x − 5 9x² − (t + 1)x + 10 = 0 Δ > 0 (t + 1)² − 360 > 0 (t + 1 − 6√10)(t + 1 + 6√10) > 0 (t < −1 − 6√10 v t > 6√10 − 1) i t > −1 ⇒ t > 6√10 − 1

	t + 1 − √(t + 1)2 − 360
a =
	18

	t + 1 + √(t + 1)2 − 360
b =
	18

	1
a∫b(x − 5 − 9x2 + tx − 5)dx =
	3

	1		1		1
[		x2 − 10x − 3x3 +		tx2]ab =
	2		2		3

	1		1
[		x2(t + 1) − x(10 + 3x2)]ab =
	2		3

1		1		1
	b2(t + 1) − 10b − 3b3 −		a2(t + 1) + 10a + 3a3 =
2		2		3

1		1
	(t + 1)(b − a)(b + a) − 10(b − a) − 3(b3 − a3) =
2		3

	1		1
(b − a)(		(t + 1)(a + b) − 10 − 3(a2 + ab + b2) =
	2		3

	1		1
(b − a)(		(t + 1)2 − 10 − 3((a + b)2 − ab) =
	2		3

	1		1		1		2		30		1
(b − a)(		t2 + t +		− 10 −		t2 −		t − 3 +		) =
	2		2		27		27		9		3

5√(t + 1)2 − 360		1
	(5t2 + 10t − 99) =
486		3

No i zapewne coś skopałem w obliczeniach, ale z tego wyliczasz t

Filip: Nie wiem czy znajdziesz tak właściwie, masz do tego odpowiedź? Wolfram podaje, że t ≈ 18

Filip: Ale coś jest źle, bo dla takiej wartości parametru t, pole wychodzi zupełnie inne

Filip: Znalazłem potencjalny błąd, jednak ma on jeszcze gorszy wpływ na wynik − 3 linijka obliczeń od końca

	1		1
Zamiast		(t + 1)2 powinno być		(t + 1)2
	2		18

no i w ostatniej linijce w nawiasie powinienem dostać:

	1
t2 + 2t + 181, po wyłączeniu		przed nawias, oraz zamiast 486 w mianowniku − 972
	54

Adrian: Aj, sorry, pomyliłem plusa z minusem, y=x+5. Ale twoje podejście do zadania jest dobre, dzięki! Niestety nie znam wyniku, potem napiszę tutaj swoje obliczenia.

Filip: A widzisz, właśnie początkowo zastanawiałem się, czy przypadkiem te 5 nie powinny się skracać, teraz ponadto ta informacja, że t > −1 jest przydatna bo 9x² − tx + 5 = x + 5 x(9x − t − 1) = 0 x₁ = 0

	t + 1
x2 =		> 0
	9

no i ewentualnie odrzucić te t, które nie spełniają tego warunku

ICSP: Przeszedł do innego wymiaru. Mila ma taką moc.

Eta:

Filip: Adrian wracając do zadanie Mamy tak: y = 9x² − tx + 5 y = x + 5 x₁ = 0

	t + 1
x2 =
	9

	1
x1∫x2(x + 5 − 9x2 + tx − 5)dx =
	3

	1
x1∫x2((t + 1)x − 9x2)dx =
	3

	(t + 1)		1
[		x2 − 3x3]x1x2 =
	2		3

(t + 1)3		1
	− 3(t + 1)3 =
162		3

	485		1
−		(t + 1)3 =
	162		3

	54
(t + 1)3 = −
	485

	2
t + 1 = −33√
	485

	2
t = −33√		− 1, co nie jest zgodne z założeniem, bo t > −1
	485

Tobie też tak wyszło?

Filip: ahh, zgubiłem 9³ przy podstawieniu wartości liczbowych...

Filip: [...]

(t + 1)3		3(t + 1)3		1
	−		=
162		729		3

(t + 1)3		1
	=
486		3

(t + 1)³ = 162 t = ³√162 − 1 t = 3³√6 − 1 > −1

Filip: Mila błąd jest w pierwotnej treści zadania druga funkcja powinna wyglądać tak: y = x + 5, patrz wpis 17 lut 20:26 − sam autor sprostował

jc: Pole = (9/6)*(x₂−x₁)³=Δ³/(6*9²)=1/3 Δ³=2*9², wynik chyba nie będzie ładny.

Mila: Dzięki Filip za informację. Zacznę liczyć.

Filip: jc w takim razie mamy dwa różne wyniki t = ⁶√162 − 1 −> z Twojego sposobu t = ³√162 − 1 −> z mojego sposobu Mila policzyłaś już to?

jc: Filipie, może coś pomyliłem. W zadaniu warto wykorzystać ogólny wynik. Jeśli prosta przecina parabolę y=kx² w punktach: (a, ka²), (b, kb²), a<b,

	(b−a)3
to pole odcinka paraboli = k*		.
	6

Filip: W takim razie, ja się pomyliłem, ponieważ założyłem, że Δ u ciebie we wzorze to (t + 1)² W takim razie twoim sposobem:

1		9(t + 1)3
	=
3		6 * 729

(t + 1)³ = 162 t = 3³√6 − 1 Czyli wychodzi to samo co mi, jednak o wiele szybszym sposobem

Mila: Filipie, policzyłam, sprawdziłam, ale zdenerwowało mnie to, że poświęciłam czas na błędną wersję zadania. Pisać rozwiązania już nie ma sensu. Sprawa prosta w nowej wersji.