Liczby całkowite 6latek: Zadanie nr 21. a) Sprawdz ze zbior liczb podzielnych przez 5 jest zamkniety ze wzgledu na wykonalnosc dodawania , odejmowania i mnozenia b) Wymien jeszcze kilka podzbiorow zbioru C zamknietych ze wzgledu na wykonalnosc tych dzialan c) Udowodnij ze 0 nalzey do kazdego tych zbiorow d) Sprawdz ze zbior wszystkich wielokrotnosci calkowitych dowolnej ustalonej liczby calkowitej k jest zamkniety na wykonalnosc dodawania ,odejmowania i mnozenia e) Co otrzymasz wstawiajac k=0 w punkcie d) f) Czy ograniczenie sie do k naturalnego (wielokrotnosci naturalnej ) zmieni istotnie tresc punktu d) Dziękuje .

Mila: a) liczby podzielne przez 5 są postaci: 5k, k∊C a=5k, b=5m 5k+5m=5*(k+m) − (k+m)∊C, liczba podzielna przez 5 5k−5m=5*(k−m) − (k−m)∊C, liczba podzielna przez 5 5k*5m=5*(5km) − 5km∊C, liczba podzielna przez 5

6latek: Dobry wieczor Dziekuje . Wracam do Anusiaka klasa 1.

Mila: Właśnie miałam o to pytać

Saizou : b) np. zbiór liczb podzielnych przez 2 zbiór liczb podzielnych przez 3 zbiór liczb podzielnych przez 4 cały zbiór Z, ale już zbiór liczb naturalnych nie spełnia tej własności (sprawdź odejmowanie).

Adamm: Komentarz do b) Taki (niepusty) zbiór nazywamy podpierścieniem. Można pokazać, że podpierścienie Z to dokładnie zbiory liczb podzielnych przez n dla n>0, albo {0}. A teraz dowód. Niech A to podpierścień Z. Załóżmy że A ≠ {0}. Wtedy x ∊ A, x ≠ 0. Możemy założyć, że x > 0, w przeciwnym razie weźmiemy −x = 0−x. Niech x to najmniejsza dodatnia liczba naturalna w A. Weźmy jakieś y z A, i podzielmy przez x: y = ax+r. Zgodnie z definicją, 0 ≤ r < x. Ale ax jest w A, bo albo a = 0, i wtedy ax = 0 = x−x jest w A, albo a>0, i wtedy ax to suma x+...+x a razy albo a<0, i wtedy ax = (−a)(−x), to suma (−x)+...+(−x) −a razy, przy czym jak mowiłem wcześniej, −x jest w A. Zatem y−ax = r jest w A. W takim razie r = 0, więc y jest podzielne przez x.

6latek: Dziękuje za odpowiedzi.

6latek: Saizou Zbior liczb naturalnych nie jest zamkniety ze wzgledu na odejnowanie .Oznacza to ze odejnowanie wychodzi poza ten zbior .

Saizou : Tak, dla dowolnych dwóch liczb naturalnych mamy np. a = 3 b = 5 a−b = 3−5 =−2 ∉N

ICSP: Dla dowolnych , np.

Saizou : Dla dowolnych dwóch liczb a, b takich, że a<b

ICSP: