Znalezienie bazy ortonormalnej podprzestrzeni liniowej Shizzer: Znaleźć jakąś bazę ortonormalną (względem zwykłego iloczynu skalarnego) podprzestrzeni liniowej L = {(x, y, z, t) ∊ R⁴: 2x − 3y + z = 4t} Baza ortonormalna to baza, która składa się z wektorów parami prostopadłych, a każdy z nich jest długości 1. 2x − 3y + z − 4t = x(2, 0, 0, 0) + y(0, −3, 0, 0) + z(0, 0, 1, 0) + t(0, 0, 0, 4) = = Span_R((2, 0, 0, 0), (0, −3, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 4)) ⇔ dim_RL = 4 B = ((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)) ← Szukana baza ortonormalna przestrzeni lin. L Czy tak należało to zadanie rozwiązać? To rozwiązanie wydaje mi się zbyt krótkie, żeby było poprawne Nie miałem podobnego zadania na ćwiczeniach, ale widziałem to zadanie w jednym z egzaminów z zeszłego roku i chciałbym wiedzieć jak tego typu zadania się rozwiązuje w razie czego

jc: Zacznijmy od jakiejkolwiek bazy L. 2x−3y+z−4t=0 Biorąc x,y,t jako parametry dostajemy (x,y,z,t)=(x,y,−2x+3y+4t,t)=x (1,0,−2,0) + y (0,1,3,0) + t (0,0,4,1) Stąd przykładowa baza: (1,0,−2,0), (0,1,3,0), 0,0,4,1). Bazą ortonormalną zajmę się za chwilę.

jc: Zawsze możesz przeprowadzić ortonormalizację Gramma−Schmita.