Jak rozwiązać zadanie z postacią Jordana i bazami? Shizzer: Znaleźć macierz odwzorowania liniowego Λk w bazie kanonicznej oraz bazę, w której ma ono postać Jordana. Λ0(x,y,z)=(5x+8y+5z,−2x−4y−3z,2x+5y+4z) Wyznaczyłem macierz odwzorowania Λ0 w bazie kanonicznej, wygląda ona tak: [5, 8, 5] M(Λ0, K₃, K₃) = [−2,−4,−3] [2, 5, 4] Czy teraz mam wyznaczyć jej postać Jordana? Mówiąc szczerze niezbyt rozumiem treść tego zadania więc gdyby ktoś podał mi listę kroków, która doprowadziłaby mnie do rozwiązania to byłbym bardzo wdzięczny.

jc: Po prostu znajdź wartości i wektory własne. Ale wcześniej sprawdź, czy czegoś nie pomyliłeś. Wynik nie będzie ładny. Masz trzy różne wartości własne, a więc wektory własne utworzą bazę. Musisz tylko zapisać macierz w tej bazie.

jc: To po prostu będzie macierz diagonalna. Na przekątnej będą stały wartości własne. Nic więcej.

jc: Wektorów własnych nie musisz wyznaczać. Wystarczą wartości własne, czyli pierwiastki wielomianu charakterystycznego.

Shizzer: Skoro ta macierz odwzorowania liniowego jest diagonalizowalna to można ją zapisać w takiej postaci: Niech macierz odwzorowania liniowego będzie A. Wtedy: A = P * D * P⁽−1) Dlaczego pomijamy tutaj macierze przejścia, a skupiamy się tylko na macierzy D?

jc: P to macierz zmiany bazy. Czasem się przydaje. Raz wartości własne są ważniejsze, raz wektory własne, a innym razem jedno i drugie tak samo ważne. Zależy od problemu. W zadaniu należało znaleźć postać Jordana, więc wektory własne nie były potrzebne. Macierzy [1 3] [0 1] nie zdiagonalizujesz. Odpowiednia macierz Jordana to [1 1] [0 1]

Shizzer: Rozumiem. Bardzo dziękuję za pomoc