Granica ciągu Damian#UDM: Oblicz granicę ciągu lim_n→∞ (3n²+2n−1)^1_n Coś pokombinuje z pewnego wzoru, aczkolwiek zapraszam do dyskusji

Damian#UDM: Jednak nic nie pokombinuje, bo lim_x→0 (1+x)^1_x = e granica dąży do zera, a nie nieskończoności. Więc serdecznie zapraszam do rozwiązywania

kerajs: Gdybyś, zamiast bazować na informacjach od forumowiczów, korzystał z sugerowanych podręczników, to zamisat kombinować wiedziałbyś iż: lim_n→∞ ⁿ√n=1 lim_n→∞ ⁿ√a=1 dla a∊R₊ A ''problematyczną'' granicę liczy się w pamięci dostając 1

Damian#UDM: Właśnie kerajs poszukałem po dodaniu tego wpisu i udało mi się znaleźć prosty wzór, który wyżej opisałeś. Dziękuję za uwagi

Godzio: Tak formalnie to powinniśmy skorzystać z twierdzenia o 3 ciągach. ⁿ√3 * ⁿ√n² = ⁿ√3n² ≤ a_n ≤ ⁿ√3n²+3n²+3n² = ⁿ√9 * ⁿ√n² Korzystając z powyższych faktów, lewy i prawy ciąg dążą do 1, więc z twierdzenia o 3 ciągach granicą ciągu (3n² + 2n − 1)^1/n dąży do 1.

kerajs: A co z wersją : lim_n→∞ⁿ√3n²+2n−1=lim_n→∞ⁿ√nⁿ√nⁿ√3ⁿ√1+²_3n−¹_3n²=1*1*1*1=1 która nie korzysta z twierdzenia o trzech ciągach?

jc: kerajs, to już lepiej od razu napisać wynik. Jak uzasadnisz ostatnią granicę?

	2		1
(1+		−		)1/n →1
	3n		n2

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach. To po co kombinować?

Damian#UDM: Ja zrobiłem to jeszcze w inny sposób. Stworzyłem tabelkę, w której policzyłem 11 kolejnych wyrazów od 1 do 11 oraz kilka większych : 20, 50, 100, 200, 1000 ciąg z wyrazu na wyraz maleje, a dla n = 1000, tysięczny wyraz ciągu jest już w przybliżeniu równy 1,01, więc z tego wnioskuję, że granice tego ciągu dla n dążącego do nieskończoności jest równa 1. Co myślicie o takim pomyśle?