RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE Damian#UDM: RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE Czy jest ktoś tutaj kto ogarnia równania różniczkowe? I dałby radę poćwiczyć tutaj ze mną na konkretnych przykładach i rozwiązać na początek kilka przykładów? Czekam na kontakt z waszej strony kochani!

Mariusz: Jeśli chodzi o równania różniczkowe zwyczajne to trochę o nich czytałem oraz je przećwiczyłem na przykładach Z równaniami różniczkowymi cząstkowymi jest już trochę gorzej

Damian#UDM: Każda wiedza od Ciebie Mariusz będzie dla mnie cennym doświadczeniem! Zatem podaje pierwszy przykład: Rozwiąż równanie różniczkowe 2y' − 2y = 4x + 3

kerajs: Zaglądnij do podręcznika, a rozwiążesz je co najmniej trzema sposobami.

Mariusz: Przydałoby się najpierw wytłumaczyć jakieś pojęcia wstępne typu Całka równania , całka szczególna , zagadnienie Cauchego , układ fundamentalny itp Równania różniczkowe pierwszego rzędu sprowadzasz do jednego z następujących trzech typów (Te typy równań które są wydzielane w podręcznikach możesz sprowadzić do jednego z trzech następujących typów równań) 1. Równanie o rozdzielonych zmiennych Jest to równanie postaci y'=f(x)g(y) Gdy uda ci się sprowadzić równanie do takiej postaci to całkujesz je tak jak sama nazwa wskazuje dzieląc przez funkcję zależną od y i całkując obustronnie Podczas dzielenia zakładasz że to przez co dzielisz nie jest zerem a po rozwiązaniu równania sprawdzasz czy przez to założenie nie straciłeś rozwiązań 2. Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne Jest to równanie postaci y'+p(x)y=q(x) Rozwiązujesz najpierw równanie jednorodne (z zerem po prawej stronie) Gdy już będziesz miał rozwiązanie równania jednorodnego to uzmienniasz stałą czyli zakładasz że rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego jest postaci y_s(x)=C(x)y_j(x) Wstawiasz przewidywaną postać rozwiązania szczególnego do równania i znajdujesz funkcję C(x) Całka ogólna równania niejednorodnego będzie sumą całki ogólnej równania jednorodnego i całki szczególnej równania niejednorodnego (Całka ogólna to po prostu wszystkie rozwiązania równania a całka szczególna to jedno konkretne) 3. Równanie zupełne A tu pytanie − miałeś coś takiego jak różniczka zupełna funkcji wielu zmiennych oraz twierdzenie Schwarza o pochodnych mieszanych ? Równanie różniczkowe postaci P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 jest zupełne gdy zachodzi warunek

δP		δQ
	=
δy		δx

wynika on z twierdzenia Schwarza o pochodnych mieszanych Gdy już sprawdzisz ten warunek to rozwiązujesz układ równań

δF
	=P(x,y)
δx

δF
	=Q(x,y)
δy

Teraz wybierasz sobie jedno równanie z tego układu równań i całkujesz je pamiętając że rolę stałej całkowania pełni funkcja zależna od tej drugiej zmiennej Po scałkowaniu wybranego równania otrzymujesz funkcję F(x,y) którą wstawiasz do pozostałego równania aby wyznaczyć tę funkcję pełniącą rolę stałej całkowania F(x,y)=C będzie rozwiązaniem ogólnym równania w postaci uwikłanej Jeśli chodzi o sprowadzanie równań do wyżej wymienionych typów to do równania o rozdzielonych zmiennych sprowadzasz równania stosując podstawienie Do równania liniowego też równania sprowadzasz stosując głównie podstawienie choć jest taki typ równania w którym równanie liniowe otrzymujesz po wprowadzeniu parametru Do równania zupełnego sprowadzasz równania głównie czynnikiem całkującym Gdy w równaniu postaci P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 nie zachodzi równość

δP		δQ
	=
δy		δx

to możesz poszukać takiej funkcji μ(x,y) aby zachodziła równość

δμP		δμQ
	=
δy		δx

Myślę że większość tutaj odpisujących jako tako sobie radzi z równaniami różniczkowymi ale mało kto zechce z tobą posiedzieć

Mariusz: 2y' − 2y = 4x + 3 Spróbuj standardowo − dopasuj do jednego z typów które podałem 2y' − 2y = 4x + 3 Jeżeli spojrzysz na te typy co zapisałem wyżej to zauważysz że to jest równanie liniowe

	3
y' − y = 2x +
	2

y' − y=0 y'=y

y'
	=1
y

dy
	=dx
y

ln|y|=x+C₁ |y|=e^x+C₁ |y|=e^C₁e^x y=±e^C₁e^x y=C₂e^x Masz teraz rozwiązanie ogólne równania jednorodnego Aby znaleźć rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego uzmienniasz stałą Wstawiasz przewidywaną postać rozwiązania do równania y=C(x)e^x

	3
y' − y = 2x +
	2

	3
C'(x)ex+C(x)ex−C(x)ex=(2x +		)
	2

	3
C'(x)ex=(2x +		)
	2

	3
C'(x)=(2x +		)e−x
	2

	3		3
∫(2x +		)e−xdx=−(2x+		)e−x−∫(−e−x*2)dx
	2		2

	3		3
∫(2x +		)e−xdx=−(2x+		)e−x+2∫e−xdx
	2		2

	3		3
∫(2x +		)e−xdx=−(2x+		)e−x−2e−x
	2		2

	3		7
∫(2x +		)e−xdx=−(2x+		)e−x // Tu stała całkowania jest opcjonalna
	2		2

y=C(x)e^x

	7
ys(x)=−(2x+		)e−xex
	2

	7
ys(x)=−(2x+		)
	2

Całka szczególna równania niejednorodnego to

	7
ys(x)=−(2x+		)
	2

Całka ogólna równania niejednorodnego to suma całki ogólnej równania jednorodnego i całki szczególnej równania niejednorodnego czyli

	7
y=Cex−2x−
	2

Damian#UDM: Ja z Tobą Mariusz z przyjemnością będę się kontaktował tutaj lub przez pocztę Dziękuję za Twoją pomoc. Spróbuję to zrobić. kerajs niestety nie mam dostępu do podręczników z równaniami różniczkowymi, ale za to poszukałem sobie materiałów z uczelni na internecie. Teraz potrzebuję poćwiczyć kilka przykładów, a później z pewnością wezmę się za więcej i będę te równania kontynuował w tym wątku z pewnością.

Damian#UDM: Dziękuję Mariusz za rozwiązanie Czytałem sobie pliki z uczelni na ten temat lecz obecnie ciężko to do głowy wchodzi. Spróbuję porobić jakieś proste przykłady I będę je podsyłał tutaj

Mariusz: Spróbuj na początek zająć się wymienionymi przeze mnie typami równań 1. Równanie o rozdzielonych zmiennych np

	y
y'=
	x

y'=sin(x)cos²(y) y'−xy²=x y'=e^x+y No może na razie tyle

Damian#UDM: VII otrzymałem e−mail, dziękuję za pomoc!

Mariusz: Jak będziesz ćwiczył to najpierw wybierasz sobie jeden typ równań np równanie o rozdzielonych zmiennych Następnie jeśli poczujesz że dobrze sobie radzisz z równaniem o rozdzielonych zmiennych to przechodzisz do następnego typu równania np równania liniowego niejednorodnego i tutaj tak samo jeśli poczujesz że dobrze sobie radzisz z równaniem liniowym niejednorodnym to przechodzisz do kolejnego typu równań np równania zupełnego i analogicznie jak w przypadku poprzednich typów równań Gdy już opanujesz równania zupełne to ćwiczysz sobie wszystkie trzy typy na raz Następnie sprowadzasz równania do jednego z wymienionych typów Pewne typy równań zostały wydzielone bo np jedno konkretne podstawienie sprowadza to równanie do jednego z wymienionych przeze mnie równań we wpisie z 7 lut 2021 09:08 Kiepskim pomysłem jest skakanie po tematach z podręcznika który wyśle ci siódemka

Mariusz: Jakie tam masz tematy ? Masz tam np rachunek operatorowy czyli przekształcenie Laplace ?

daras: no tak...nie ma dostępu do podreczników za moich czasów to byłoby jakies wytłumaczenie, dlatego wszystkie potrzebne podręczniki stały u mnie na półkach ale teraz w dobie internetu gdzie wszystko jest na kliknięcie wystarczy tylko chcieć np. https://matematyka.pl/viewtopic.php?f=45&t=362915

daras: https://matematyka.pl/viewtopic.php?f=45&t=362662 itd.

Damian#UDM: daras dziękuje za linki, lecz mi nic takiego nie wyskakiwało, może za mało szukałem Ale i tak wolałbym wersje papierowe, ponieważ ile można siedzieć przy laptopie? Mnie szybko oczy bolą więc odpuszczam. Dziękuje wam za pomoc, postaram się to powoli ogarniać

Damian#UDM: I będę wysyłał tutaj zadanka!

Mariusz: Ja akurat z forów nie korzystałem gdy uczyłem się równań różniczkowych Wyszukałem książki w pdf i z nich się uczyłem Tutaj wpis kerajsa z 7 lut 2021 09:06 miał na celu popisanie się a nie nauczenie ciebie czegokolwiek

Damian#UDM: No rozumiem Mariusz Również spróbuję z książkami się nauczyć, lecz wasza pomoc na pewno się przyda

Jerzy: Do dzieła.Spróbuj pierwsze z 9:54.

kerajs: Dotyczy: Mariusz 12:15 1. ''Tutaj wpis kerajsa z 7 lut 2021 09:06 miał na celu popisanie się'' Nie przypisuj mi swoich motywacji. 2. ''... a nie nauczenie ciebie czegokolwiek'' Po raz kolejny napiszę, skoro poprzednio nie zrozumiałeś. Nie zamierzam tu czegokolwiek, ani kogokolwiek uczyć. Natomiast samoukom polecam używanie podręczników, gdzie wiadomości są odpowiednio usystematyzowane i prezentowane. Forum może być dodatkiem, miejscem rozstrzygania niejasności, a nie głównym źródłem informacji.

Mariusz: Ad 1. To co miał znaczyć tekst o tych trzech sposobach jak nie popisywanie się Ad 2 Ja to wiedziałem od początku ale dobrze że to napisałeś wprost

Mariusz: Jak na to forum nie właziłeś to całkiem nieźle mi się pisało z zefem o całkach tyle że po jakimś czasie mu się znudziło Tutaj też zacząłbym od przećwiczenia z nim wymienionych przeze mnie typów równań później przeszedłbym do sprowadzania innych typów równań do wyżej podanych ale jak zwykle musisz się wtrącać Dobrze że nie umiesz programować bo z Filipem całkiem nieźle mi się pisze

kerajs: ''Ad 1. To co miał znaczyć tekst o tych trzech sposobach jak nie popisywanie się'' Widzę że masz niezłą obsesję, skoro popisywaniem się nazywasz odsyłanie do podręcznika (aby poznać kilka metod rozwiązania tego samego równania). ''Jak na to forum nie właziłeś to całkiem nieźle mi się pisało z zefem o całkach tyle że po jakimś czasie mu się znudziło '' Tak, tak. To także moja wina. że mu się znudziło. 'Tutaj też zacząłbym od przećwiczenia z nim wymienionych przeze mnie typów równań później przeszedłbym do sprowadzania innych typów równań do wyżej podanych ale jak zwykle musisz się wtrącać '' Kolejna tragedia. Wtrąciłem się i tyle pracy, pedagogicznego trudu, ...(tu wstaw pozostałe)... poszło w piach. I to także moja wina. PS ''Dobrze że nie umiesz programować bo z Filipem całkiem nieźle mi się pisze'' Choć to zdanie to dla mnie zupełny bełkot to, jak się domyślam, nie miał być komplement.

Mariusz: Tak bo zamiast cię zignorować to czyta wpisy takich trolli To dobrze że programowanie to dla ciebie bełkot bo przynajmniej tam nie będziesz się wtrącał Tak jak pisałem już wcześniej gdybym był właścicielem tej strony problem z tobą już dawno by się rozwiązał

6latek: Mariusz zjedz Snicersa bo zaczynasz wiesz co . Bez powodu czepiles sie chlopaka .Z tego co czytam on Cie wcale nie prowokuje .Jest wrecz odwrotnie . Zatrzymaj sie tutaj i nie przekraczaj granicy .

Damian#UDM: Jeżeli chodzi o mnie to temat całek w żadnej mierze mi się nie znudził. Chcę je ogarnąć, lecz na teraz potrzebowałem równań różniczkowych i chciałem zobaczyć czy da radę ich się szybko nauczyć. Lecz widzę, że będzie ciężko, więc na pewno będę dalej kontynuował całki A ten wątek na przyszłość przyda się na pewno, ja potwierdzam, że zadania będę liczył

Mariusz: Damian tutaj akurat pisałem o innym chłopaku jeszcze z czasów zanim kerajs zaczął tu zaglądać Do równań różniczkowych całki się przydają Jeśli chodzi o algebrę to oprócz rozkładu na sumę ułamków prostych wykorzystywanego podczas liczenia całek przydadzą się wartości i wektory własne i jakieś rozkłady macierzy z nimi związane jak np diagonalizacja czy rozkład Jordana