Trudne zadanie dowodowe Szukacz: Cześć Zupełnie nie wiem jak ugryźć zadanie dowodowe. Czy mógłby ktoś je rozwiązać? 2020² − 2019² + 2018² − 2017² +...+4² −3² +2² − 1 > 2020 * 1010

ICSP: (n+1)² − n² = 2n + 1 > 2n 2020² − 2019² > 2 * 2019 2018² − 2017² > 2 * 2017 ... 2² − 1 > 2*1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− S > 2(1 + ... + 2017 + 2019) = (1 + 2019) * 1010 = 2020*1010

Szukacz: Kompletnie nie rozumiem co gdzie i kiedy, gdzie się gubią plusy, skąd 2 wyciągnięte przed nawias itp.

Mariusz: a_n=(−1)ⁿ*n² Jak chcesz policzyć tę sumę to s₀=0 s_n=s_n−1+(−1)ⁿ*n² S(x)=∑_n=0^∞s_nxⁿ ∑_n=1^∞s_nxⁿ=∑_n=1^∞s_n−1xⁿ+∑_n=1^∞(−1)ⁿn² ∑_n=1^∞s_nxⁿ=x(∑_n=1^∞s_n−1xⁿ⁻¹)+∑_n=0^∞(−1)ⁿn²

	1
∑n=0∞(−1)nxn=
	1+x

d		d		1
	(∑n=0∞(−1)nxn)=		(		)
dx		dx		1+x

	−1
∑n=0∞n(−1)nxn−1=
	(1+x)2

	−1
∑n=1∞n(−1)nxn−1=
	(1+x)2

	−1
∑n=0∞(n+1)(−1)n+1xn=
	(1+x)2

	1
∑n=0∞(n+1)(−1)nxn=
	(1+x)2

d		d		1
	(∑n=0∞(n+1)(−1)nxn)=		(		)
dx		dx		(1+x)2

	−2
∑n=0∞n(n+1)(−1)nxn−1=
	(1+x)3

	−2
∑n=1∞n(n+1)(−1)nxn−1=
	(1+x)3

	−2
∑n=0∞(n+1)(n+2)(−1)n+1xn=
	(1+x)3

	2
∑n=0∞(n+1)(n+2)(−1)nxn=
	(1+x)3

n²=(n+1)(n+2)−3(n+1)+1

	2		3		1
∑n=1∞snxn=x(∑n=1∞sn−1xn−1)+		−		+
	(1+x)3		(1+x)2		1+x

	2		3		1
∑n=0∞snxn−0=x(∑n=0∞snxn)+		−		+
	(1+x)3		(1+x)2		1+x

	2		3		1
S(x)(1−x)=		−		+
	(1+x)3		(1+x)2		1+x

	2−3(1+x)+(1+x)2
S(x)(1−x)=
	(1+x)3

	1+2x+x2−3x−3+2
S(x)(1−x)=
	(1+x)3

	x2−x
S(x)(1−x)=
	(1+x)3

	x2−x
S(x)=
	(1−x)(1+x)3

	−x(1−x)
S(x)=
	1−x)(1+x)3

	−x
S(x)=
	(1+x)3

	−1−x+1
S(x)=
	(1+x)3

	1	2		1
S(x)=			−
	2	(1+x)3		(1+x)2

	1
S(x)=		(∑n=0∞(n+1)(n+2)(−1)nxn−(∑n=0∞(n+1)(−1)nxn)
	2

	1
S(x)=∑n=0((		(n+1)(n+2)(−1)n−(n+1)(−1)n)*xn)
	2

	1
sn=		(n+1)(n+2)(−1)n−(n+1)(−1)n
	2

	1
sn=		(n+1)(n+2−2)(−1)n
	2

	1
sn=		n(n+1)(−1)n
	2

Wstawiasz do wyprowadzonego wzoru i porównujesz

	1
s2020=		* 2020 * 2021
	2

s₂₀₂₀=2021 * 1010 I teraz porównujesz co jest większe 2021 * 1010 czy 2020 * 1010

Mila: Na poziomie LO. 1) (2020² − 2019²) + (2018² − 2017² )+...+(4² −3² )+(2² − 1)= z wzoru skróconego mnożenia =(2020−2019)*(2020+2019)+(2018−2017)*(2018+2017)+....(4−3)*(4+3)+(2−1)*(2+1)= =4039+4035+....+7+3 2) Masz sumę wyrazów ciągu arytmetycznego, przyjmuję: a₁=3 r=4 a_n=4039 Obliczmy ile jest wyrazów: 4039=3+(n−1)*4 n=1010 3)

	3+4039
S1010=		*1010=2021*1010
	2

2021*1010>2020 * 1010

blabla: Szukacz nie rozumie co napisał ICSP to jasne,że nie zrozumie co napisał Mariusz

ABC: święte słowa

Belzebub: Najprostszy sposob : Wzór skróconego mnożenia dla 2 kolejnych wyrazów (1) u Mila. Gdy dojdziesz do sumy 4039+4035+....+7+3 możesz zauważyć, że 4039+3 = 4042 tak samo 4035+7= 4042 Oblicz ile jest takich sum i wyciągnij z 4042 dwójkę: 4042 = 2 * 2021. Następnie porównaj obie strony.