Sprawdzenie czy dana macierz jest diagonalizowalna Shizzer: Niestety na ćwiczeniach nie doszliśmy do tematu diagonalizacji macierzy, a egzamin tuż tuż. Mam takie zadanie: Zbadać czy macierz: [5, 1, −1] A = [−3, 1, 1] [3, 1, 1] jest diagonalizowalna. Przeszukiwałem Internet, żeby znaleźć materiały na temat tego jak sprawdzić czy macierz jest diagonalizowalna, bo z wykładu niestety nic nie zrozumiałem. Chciałbym się Was zapytać czy dobrze rozumiem podejście, które powinienem tutaj zastosować. Część rozwiązania: Następujące warunki są równoważne: 1) Macierz A jest diagonalizowalna 2) Wektory własne macierzy A (v1, v2, v3) tworzą bazę w przestrzeni R³ 3) Istnieje macierz odwrotna P⁻¹ taka, że A = P⁻¹*D*P 1. Wyznaczam równanie charakterystyczne macierzy A. 2. Obliczam wartości własne macierzy A. 3. Wyznaczam wektory własne macierzy A. Sprawdzam czy tworzę one bazę w R³. Jeśli tworzą to macierz A jest diagonalizowalna, jeśli nie to macierz A nie jest diagonalizowalna. Czy taki jest algorytm postępowania? Czytałem też o wielokrotnościach wartości własnych macierzy, ale nie wiem jak one się mają do rozstrzygania o tym czy dana macierz jest diagonalizowalna. Uprzejmie proszę o pomoc. Chciałbym zrozumieć temat

Maciess: Generalnie możesz użyć kryterium, że macierz jest diagonalizowalna wtedy i tylko wtedy, kiedy krotność pierwiastka (wartości własnej ) λ = dim(V^λ)

jc: Twierdzenie. Macierz można zdiagonalizować ⇔ macierz jest pierwiastkiem wielomianu bez pierwiastków wielokrotnych. (zakładamy, ze możemy używać liczb zespolonych). Co możesz zrobić? Znajdujesz wielomian charakterystyczny, usuwasz czynniki wielokrotne i podstawiasz macierz. Jeśli wyjdzie zero, można zdiagonalizować, jesli nie, to nie można.

Maciess: Np dla tej macierzy. Wartości własne to λ₂=2 i λ=3 Wiemy też ze 1≤dim(V^λ)≤<krotność lambda Więc musimy sprawdzić czy wymiar V² jest równy 2. Szukamy wektorów własnych. AX=2X co prowadzi do układu

⎧	5x+y−z=2x
⎨	−3x+y+z=2y
⎩	3x+y+z=2z

troche liczenia i dochodzimy do wniosku, że z=3x+y Więc V^λ=Lin{(1,0,3),(0,1,1)} −−− wymiar 2 Więc macierz da sie zdiagonalizować (w rzeczywistych)

Shizzer: Dziękuję bardzo za pomoc. Jutro sobie to przeanalizuję

jc: Maciess, zacytowane przeze mnie twierdzenie można używać automatycznie. np. dla tej macierzy wystarczy sprawdzić, czy (A−2I)(A−3I)=0.

Shizzer: Bliżej mi jednak do tego sprawdzania bazy, bo wiem chyba skąd to się bierze. Równanie diagonalizujące przykładową macierz A wygląda tak: A = P⁻¹*D*P. Kolumny macierzy P składają się z wektorów własnych macierzy A. Żeby powyższe równanie miało sens, to: 1) Macierz P musi być odwracalna, czyli musi składać się z wektorów niezależnych liniowo. 2) Macierz P musi mieć tyle kolumn ile macierz D ma wierszy. Czyli ilość wektorów niezależnych liniowo musi być taka sama jak ilość wartości własnych macierzy A. Z tych dwóch punktów wynika, że wektory własne macierzy A muszą tworzyć bazę przestrzeni Rⁿ, gdzie n − ilość wartości własnych macierzy A po usunięciu krotności tych wartości? Dobrze rozumiem?

jc: Macierz jednostkowa nxn ma jedną wartość własną równą 1.

	−2 9 −1 4
Przy okazji, sprawdź, że czy macierz		można zdiagonalizować.

	5 2 1 4
Sprawdź, jak będzie w przypadku macierzy		.

Shizzer: Dlaczego ilość wektorów własnych ma się równać 2 skoro rozmiar macierzy A to 3? Przecież po obliczeniu wartości własnych macierzy A powstaje taka macierz D: D = [2, 0, 0] [0, 2, 0] [0, 0, 3] Ilość jej wierszy musi się równać ilości kolumn macierzy P. Gdy liczba wektorów własnych macierzy A wyniesie 2 to ilość kolumn macierzy P ≠ ilości wierszy macierzy D to dlaczego macierz A jest diagonalizowalna?

jc: [5 1 −1] [−3 1 1] [3 1 1] k=3 [1] [−1] [1] a dla k=2 np. [1] [0] [3] oraz [0] [1] [1]

Shizzer: Czyli jeśli mam np. n−krotny pierwiastek wielomianu charakterystycznego to mogę wybierać n wektorów, bo każdej krotności wartości własnej odpowiada jeden wektor własny, tak?

jc: Jeśli r jest k−krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, to rozpatrujemy przestrzeń złożoną z wektorów v takich, że Av=rv. Jeśli wymiar takiej przestrzeni = k, to macierz można zdiagonalizować, w przeciwnym razie nie można. To napisał Maciess. Jednak kryterium, które podałem wydaje się prostsze w użyciu i może nawet w dowodzie.

Shizzer: Dziękuję za pomoc. Myślę, że teraz już sobie poradzę