Pierwiastki wielomianu XXX: Cztery różne pierwiastki wielomianu x⁴−10x²+a można ustawić w ciąg arytmetyczny. Suma kwadratów tych pierwiastków jest równa : a) 50 b) 10 c) 100 d) 20 e) 81

kerajs: odpowiedź d) PS a=9

xyz: (x−a₁)(x−a₁−r)(x−a₁−2r)(x−a₁−3r) =... (x − a₁) (a₁ (−11 r² + 12 r x − 3 x²) + a₁² (3 x − 6 r) − a₁³ − 6 r³ + 11 r² x − 6 r x² + x³) ...

xyz: czy istnieje szybszy sposób

a7: zauważamy że W(1)=W(−1)=−9+a gdyby a=9 to moze pierwiatkami byłyby −3 −1 1 3 spr W(3)=W(−3)=81−90+9=0 ok czyli suma kwadratów pierwiastków to (−1)²+1²+(−3)²+3²=1+1+9+9=20 d)

ABC: Tak, istnieje , jeszcze Krysicki w swoich zbiorach dla kandydatów na wyższe uczelnie podał go.

wredulus_pospolitus: chyba tak

	a2+a3
oznaczmy sobie (względem tego co Ty masz): r = 2k ; b =
	2

(x − (b−3k))(x − (b−k))(x − (b+k))(x − (b+3k)) = [(x−b)² − 9k²][(x−b)² − k²] −−> 9k⁴ = a −−> 4b² −10k² = −10 −−> −4b² = 0 −−−> b = 0 −−−> k = ±1 −−−> a = 9 więc mamy: −3 ; −1 ; 1 ; 3

wredulus_pospolitus: a jeszcze przyśpieszyć można (ułatwić obliczenia) gdy: zauważamy, że funkcja jest parzysta, więc miejsca zerowe także będą symetryczne względem osi OY. związku z tym b = 0 i mamy: (x² − (3k)²)(x² − k²)

ABC: Legendarne zadanie z egzaminu wstępnego na UW z lat siedemdziesiątych w oryginale brzmiało: Wykazać że jeżeli cztery pierwiastki równania x⁴+px²+q=0 tworzą ciąg arytmetyczny to 9p²=100q Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne.

kerajs: (x−3k)(x−k)(x+k)(x+3k)=(x²−9k²)(x²−k²)=x⁴−10k²x²+9k⁴ (−3k)³+(−k)²+k²+(3k)²=20k²=20*1

kerajs: Przegapiłem post wredulusa z 7 kwi 2023 12:02. Sorry.