szereg szereg:

	(−1)n−1
Dany jest szereg naprzemienny ∑ (od n=1 do nieskończoności)		. Obliczając sumę
	n

pierwszych 99 wyrazów otrzymamy wynik przybliżony. Jaki jest błąd tego przybliżenia? Wiem, że mam skorzystać z twierdzenia, że błąd przybliżenia sumy S można oszacować przez sumy częściowe Sn: |S − S_N| ≤ |a_N+1|. Nie bardzo rozumiem jednak tę nierówność (zwłaszcza lewą stronę). Mogę prosić o wyjaśnienie?

ICSP: https://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_series Ta równość to nic innego jak oszacowanie reszty szeregu naprzemiennego. Reszta szeregu naprzemiennego jest nie większa niż pierwszy pominięty wyraz (co do modułu oczywiscie)

ICSP: https://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_series_test

szereg: Okej, czyli rozumiem, że mamy:

	(−1)n−1		(−1)99−1		1
|		−		| <= |		|?
	n		99		99

szereg: Nie, to chyba nie ma sensu...

szereg: To może:

	(−1)n−1		(−1)n−1
| ∑ (od n=1 do nieskończoności)		− ∑ (od n=1 do 99)		| <=
	n		n

	1
|		|?
	99

ICSP:

	(−1)n−1		1		1
|∑		−		| ≤
	n		99		100

Po lewej stronie pod wartością bezwzględną masz resztę szeregu. Poczytaj co to takiego.

szereg: To już chyba wygląda bardziej sensownie. Ale co z tym dalej zrobić, skoro mam pytanie konkretne: jaki jest błąd tego przybliżenia?

ICSP:

	(−1)n−1		(−1)n−1		1
|∑		− ∑		| ≤
	n		n		100

Druga suma jest od n = 1 do n = 99

szereg: O, teraz mi chyba się rozjaśnia. Tak powoli. Czyli możemy uznać, że

	(−1)n−1
∑		(od n = 100 do nieskończoności) <= 1/100?
	n

Wówczas suma prawie wszystkich wyrazów szeregu <=1/100?

szereg: I stąd wniosek, że błąd przybliżenia jest <= 1/100?

ICSP: Nie.

	(−1)n−1
To oznacza dokładnie tyle, że jeżeli przybliżymy sumę szeregu ∑
	n

	(−1)n−1
jego sumą częściową: ∑		(od n = 1 do n = 99) to pomylimy się maksymalnie o
	n

	1
	100

szereg: Aaa, w ten sposób, rozumiem. DZIĘKUJĘ!