pierscien z jedynka uczen: Mamy pierscień z jedynką. e,f to elementy pierścienia, 1−ef jest jego elementem odwracalnym, jak pokazać, że 1−fe także nim jest? na pewno istnieje jakies k z pierscienia, ze (1−ef)k=k(1−ef)=1. Rozwiazuje rownanie na rozne sposoby, ale ostatecznie nie wychodzi nic sensownego.

Adamm: Elementem odwrotnym do 1−ef powinien być k = 1/(1−ef) = 1+ef+(ef)²+(ef)³+... to znaczy k−efk = k−kfe = 1 Idąc tym krokiem rozumowania, elementem odwrotnym do 1−fe powinien być 1+fe+(fe)²+(fe)³+... = 1+fke zobaczmy (1−fe)(1+fke) = 1+fke−fe−fefke = 1+fke−fe+f(1−k)e = 1

Adamm: prosta analogia prowadzi to prostoty rozwiązania

uczen: dzięki! a czy miałbyś czas zerknąć jeszcze na to: jeśli dla dowolnego a z pierścienia a³=a, to jak udowodnić ze mamy pierscien przemienny?

uczen: Nie do końca rozumiem, skąd pojawiły się szeregi 1+ef+(ef)²+... To rozwinięcie w szereg tego ułamka?

Adamm: Tak, rozwinięcie w szereg. To tylko intuicja, nie traktuj tego jako coś co ma jakieś jasne znaczenie. https://math.stackexchange.com/questions/67148/if-a3-a-for-all-a-in-a-ring-r-then-r-is-commutative