Wielomian, podzielność Szkolniak: Treść: Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej x wartość wielomianu W(x)=x⁵−5x³+4x jest liczbą podzielną przez 120. x⁵−5x³+4x=x(x⁴−5x²+4)=x(x²−1)(x²−4)=(x+2)(x+1)x(x−1)(x−2) 120=5*4*3*2 (x+2)(x+1)x(x−1)(x−2) to iloczyn pięciu kolejnych liczb całkowitych, zatem na pewno jest podzielny 5, zatem oczywistym jest, że jest również podzielny przez 4, 3 oraz 2. Czy można w ten sposób to zrobić? Bo tak naprawdę jeśli przyjmiemy x równe jakiejś liczbie całkowitej i są to kolejne liczby, to jeśli jest ich 5, to oczywistym jest, że przed 5 jest 4, przed 4 jest 3 i przed 3 jest dwójka. Można to w ten sposób interpretować?

VII: Napisales Zatem oczywistym jest ,ze rowniez podzielny przez 4,3 2 Dlaczego jest oczywistym?

Szkolniak: Bo jeśli poruszamy się po liczbach całkowitych, to po kolei następują po sobie liczby całkowite, tak? Jak dla mnie, jeśli właśnie poruszamy się po nich po kolei i jest ich pięć, to przed piątką musi wystąpić jakaś liczba podzielna przez 4.. Nie rozpatrywałem w sumie tego na jakimś danym ciągu liczb, po prostu tak na logikę zacząłem rozmyślać i w sumie zastanawiam się czy takie uzasadnienie byłoby okej

ICSP: iloczyn n kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez n! Jest to wniosek z dwumianu Newtona.

ICSP: Symbolu Newtona*

Szkolniak: Chociaż jeśli weźmiemy ciąg kolejnych pięciu liczb całkowitych −2, −1, 0, 1, 2, to w sumie nie ma żadnej liczby tak stricte podzielnej przez 4.. Więc chyba głupotę piszę

ICSP: 0

Szkolniak: No tak, tyle to wiem Tak z ciekawości − jeśli mamy powiedziane że mamy przeprowadzić jakiś dowód dla liczb całkowitych to możemy skorzystać z indukcji czy odpada?

ICSP: Możesz, tylko poza wynikaniem T(n) ⇒ T(n+1) musisz pokazać również wynikanie T(n) ⇒ T(n−1)

Szkolniak: I zaczynamy od n=1? I w sumie też wiele razy właśnie w zadaniach, jak próbuję rozwiązywać zadania korzystając z indukcji, to pojawia mi się iloczyn równy zero − uznawane to jest również jako podzielność, tak? Coś w stylu ''Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej 30 | n⁵−n.'' Tutaj dla n=1 wychodzi zero i uznajemy że jest ok i lecimy dalej?

ICSP: Możesz zacząć od n = 1.

jc:

−n 5		n+4 5
	= −		, czyli dla ujemnych n też mamy liczbę całkowitą.

	x+2 5
Wniosek:		jest liczbą całkowitą dla całkowitych x.

Mila: Wśród 5 kolejnych liczb całkowitych jedna jest podzielna przez 5 , co najmniej 2 liczby są parzyste : jedna postaci 4k+2 a druga postaci 4k zatem iloczyn jest podzielny przez 40. Ponadto co najmniej jedna liczba jest podzielna przez 3. Zatem iloczyn 5 kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 120.

Filip: ICSP czym różni się zapis T(n) ⇒ T(n−1) a T(n−1) ⇒ T(n) ?

chichi: − jedna podzielna przez 5 − co najmniej jedna podzielna przez 3 − co najmniej 2 parzyste, z czego co najmniej jedna jest podzielna przez 4 Zatem ta liczba musi być podzielna przez 2*3*4*5=120

Szkolniak: Przeanalizowałem i zrozumiałem, dziękuję.