Całka niewłaściwa. Rafał: 0 arctg(x²) ∫ −−−−−−−− −inf x² + 1 Dzień dobry, Czy istnieje możliwość rozwiązania powyższego zadania bez wykorzystania kryterium porównawczego, tj. "wprost"? Z góry dziękuję za wszelkie wskazówki i rady.

Rafał: Przypominam się

Mariusz: Możliwe że uda się przejść na całkę podwójną Można próbować ze wzoru Leibniza

	arctg(x2t)
I(t) = ∫−∞0		dx
	1+x2

	1	x2
I'(t)=∫−∞0			dx
	(1+x2)	1+x4t2

Ze wzoru Leibniza powinieneś dać radę policzyć

jc: Mariusz, wziąłem całkę po całej prostej.

	1		√2t − 1
Wydaje się, że I'(t)=
	2		1+t2

Daje się to scałkować, ale potem trzeba, jak myślę wykorzystać I(0) i wyznaczyć I(1). Może na wakacjach....

Mariusz: Tak trzeba wykorzystać I(0) aby wyliczyć stałą całkowania wtedy I(1) będzie naszą całką którą chcemy policzyć Ja tę całkę liczyłem z użyciem programu matematycznego i dostałem inną funkcję pierwotną Aby mi ją policzył musiałem założyć że t jest dodatnie

	x2
∫		dx
	(1+x2)(1+x4t2)

	x2
∫		dx
	(1+x2)((1+x2t)2−2tx2

	x2
∫		dx
	(1+x2)(1−√2tx+tx2)(1+√2tx+tx2)

x2		Ax+B		Cx+D
	=		+		+
(1+x2)(1−√2tx+x2t)(1+√2tx+x2t)		1+x2		(1−√2tx+tx2)

Ex+F
1+√2tx+tx2

	π2
Ostatecznie wyszło mi
	8

co potwierdził Wolfram a z twojej całki co wyszło ? jc Masz pomysł na całkę podwójną bo podejrzewam że można też tę całkę policzyć sprowadzając ją do całki podwójnej jednak nie mam na nią pomysłu

jc: U mnie I(t) to była całka od −∞ do +∞. Całkę policzył komputer, granicę już sam napisałem (nie wiem, czy poprawnie, masz powyżej) Całka z √t/(1+t²} wyszła dość skomplikowana i odechciało mi się dalszych rachunków (przy okazji zapomniałem dopisać π w poprzednim liście). Dziękuję za przypomnienie metody. Rudin tak liczy całkę z e^−x2 po prostej.

jc: Całki od 0 do ∞, Po znaku równości zamiana zmiennych x →1/x.

	arctg x2		arctg 1/x		π/2 − arctg x2
∫		dx = ∫		dx = ∫		dx
	1+x2		1+x2		1+x2

	arctg x2		π		dx		π2
Stąd ∫		dx =		∫		=
	1+x2		4		1+x2		8

jc: Rafał, rachunek powyższy ma sens tylko wtedy, gdy całka istnieje. Zbieżność jednak jest oczywista.

	arctg x2		π		1
0 <		<		*		.
	1+x2		2		1+x2

Mariusz: No i znalazłeś sposób wymagający mniej obliczeń

Mariusz: A w pierwszym wpisie pytał o inny sposób wykazania zbieżności niż kryterium porównawcze