. xyz: √−4i−8 Pomoże ktoś?

Mariusz: Możesz z postaci trygonometrycznej (wzór de Moivre) Nie jest ci potrzebna konkretna wartość argumentu Wystarczą wzory na cosinus oraz sinus kątów połówkowych Przydatne będzie też stwierdzenie do jakiej ćwiartki należy argument

Mariusz: Możesz też zapisać liczbę zespoloną w postaci z=x+yi x,y∊ℛ (x+yi)²=−8−4i (x²−y²)+2xyi=−8−4i Po porównaniu części rzeczywistej i części urojonej dostajesz układ równań x²−y²=−8 2xy=−4

VII: Po rozwiazaniu tego ukladu otrzymamy wzory na pierwiastki kwadratowe liczby zespolonej z=x+iy

	x+√x2+y2		−x+√x2+y2
z1,2=±√		+ i sgn b √
	2		2

sgnb=+1 jesli b≥0 sgnb=−1 jesli b<0

VII: Przepraszam Tutaj powinno byc sgn y =1 gdy y≥0 lub sgny=−1 gdy y<0 gdyz liczbe z zapisalem w postaci z=x+iy a nie z=a+bi

Mila: √−4i−8 −8−4i=(x+iy)², x,y∊R −8−4i=x²+2xyi−y² x²−y²=−8 2xy=−4 xy=−2

	−2
y=
	x

	4
x2−		=−8
	x2

x⁴+8x²−4=0 (x²+4)²−16−4=0 (x²+4)²=20 x²+4=2√5 lub x²+4=−2√5 x²=2√5−4 lub x²=−2√5−4<0 x=√2√5−4 lub x=−√√5−4

	−2		2
y=		lub y=
	√2√5−4		√2√5−4

	2
z0=√2√5−4−i*
	√2√5−4

	2
z1=−√2√5−4+i*
	√2√5−4

====================

Mariusz: Na postaci trygonometrycznej też można −8−4i , cos(Arg(z)) < 0 sin(Arg(z)) < 0 Arg(z) należy do trzeciej ćwiartki Po podzieleniu będzie w drugiej

	x		x		x
cos(2		)=cos2(		)−sin2(		)
	2		2		2

	x		x
1=cos2(		)+sin2(		)
	2		2

	x		x
1+cos(2		)=2cos2(		)
	2		2

	x		x
1−cos(2		)=2sin2(		)
	2		2

	Arg(z)		√2+2cos(Arg(z))
cos(		)=−
	2		2

	Arg(z)		√2−2cos(Arg(z))
sin(		)=
	2		2

|z|=√64+16=4√5

	−8
cos(Arg(z))=
	4√5

	2
cos(Arg(z))=−
	√5

	2√5
cos(Arg(z))=−
	5

	Arg(z)		√(10−4√5)/5
cos(		)=−
	2		2

	Arg(z)		√(10+4√5)/5
sin(		)=
	2		2

	Arg(z)		√50−20√5
cos(		)=−
	2		10

	Arg(z)		√50+20√5
sin(		)=
	2		10

	Arg(z)		Arg(z)
z(1/2)=|z|1/2(cos(		)+isin(		))
	2		2

	Arg(z)+2π		Arg(z)+2π
z(1/2)=|z|1/2(cos(		)+isin(		))
	2		2

	√−400+200√5		√400+200√5
z(1/2)=−		+i
	10		10

	√−400+200√5		√400+200√5
z(1/2)=		−i
	10		10

z^(1/2)=−√2√5−4+i√2√5+4 z^(1/2)=√2√5−4−i√2√5+4

Mila: No i ładnie, bez niewymierności w mianowniku

Mariusz: Można by dodać że dla pierwiastków stopnia 2^k gdzie k∊ℤ obydwa sposoby się sprawdzają Dla pierwiastków innych stopni zostaje już tylko wzór de Moivre