Funkcja kwadratowa Szkolniak: Treść: Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie x²−mx+8=0 ma dwa różne rozwiązania x₁, x₂ spełniające warunek 2x₁+3x₂=16. Rozwiązałem te zadanie, natomiast nurtuje mnie ciągle pytanie na temat tego warunku.

	−b−√Δ
Ja zrobiłem to w ten sposób, że pod x1, x2 podstawiłem odpowiednio		i
	2a

	−b+√Δ
		.
	2a

Sprawdziłem w odpowiedziach i niby jest dobrze, ale czy można tak po prostu podstawiać to pod x₁ i x₂?

	−b+√Δ
I też nurtuje mnie pytanie czy nie musimy rozpatrywać przypadku, że x1=		, a
	2a

	−b−√Δ
x2=		?
	2a

ICSP: x₁ i x₂ muszą być różne od 0 Wtedy x₁x₂ = 8

	8
x1 =
	x2

Podstawiasz do drugiego równania i dostajesz równanie kwadratowe. Potem wyznacz x₂:

	8
x2 =
	x1

Podstaw do drugiego równania i również je rozwiąż Pamiętaj o tym, że twoje równanie będzie miało dziedzinę : Δ > 0 Na koniec spójrz na otrzymane wyniki i je przeanalizuj.

Mila: Wzory Viete'a i rozwiązać układ równań z parametrem

VII: Wedlug mnie wzory na x₁ i x₂ sa jasno okreslone

Mila: x₁+x₂=m 2x₁+3x₂=16 Δ>0 Z warunku x₁*x₂=8 a) obydwa pierwiastki dodatnie lub b) obydwa pierwiastki ujemne Spróbuj tak,

ICSP: 2x₁ + 3x₂ = 16 ∧ x₁*x₂ = 8 > 0 ⇒ x₁ , x₂ > 0 Czyli rozważanie przypadków gdy x₁ , x₂ < 0 jest tylko stratą czasu. Ja osobiście zostanę przy swoim pomyśle −> rozwiązanie układu równań bez parametru i późniejsze wyznaczenie parametru za pomocą wzoru: m = x₁ + x₂

Mila: 1) x₁=3m−16, x₂=16−2m (3m−16)*(16−2m)>0 i m²−32>0 i to wszystko. Nie liczyłam sposobem ICSP szkolniak policzy

ICSP: Chyba powinno być: (3m−16)(16 − 2m) = 8 ?

Mila: Nie chce mi się liczyć, bo Szkolniak to ambitny maturzysta i da sobie radę.

Szkolniak: ICSP Rozwiązałem Twoim sposobem i ładnie wychodzi, natomiast mam pytanie − w jakim dokładnie celu wyznaczamy z jednego równania dwie zmienne i potem rozwiązujemy dwa równania? Czy możliwe jest że i tu i tu wyszłyby dwie inne pary iksów? Dlatego? VII właśnie niby są określone w tablicach maturalnych, ale jakoś mi nie pasuje takie 'bezsensowne' podstawianie tych wartości pod x₁ i x₂, dlatego pytam. Mila skąd otrzymałaś, że x₁=3m−16 i x₂=16−2m?

Mila: Jakie masz rozwiązanie ? Zaraz napiszę.

a@b: Ja też tak, jak ICSP

ICSP: Takie, że raz x₁ = 2 a w drugim przypadku x₂ = 2 Wniosek z tego taki, że kolejność x₁ i x₂ jest ważna Musisz zatem swoim sposobem rozważyć osobno przypadki: 1^o x₁ < x₂ 2^o x₂ < x₁ co z miejsca powoduje dużo więcej obliczeń i przykłada się na większe prawdopodobieństwo pomyłki.

Szkolniak: Rozumiem, że kolejność nie byłaby ważna gdyby w równaniu 2x₁+3x₂=16 współczynniki stojące przy x₁ i x₂ były sobie równe? O to chodzi?

Mila: x₁+x₂=m /*(−2) 2x₁+3x₂=16 −2x₁−2x₂=−2m 2x₁+3x₂=16 =========== x₂=16−2m x₁+16−2m=m x₁=3m−16 =========== x₁=3m−16, x₂=16−2m

ICSP: Jak są równe to masz klasyczny wzór Viete'a i nie ma się nad czym w ogóle zastanawiać.

Szkolniak: Mila dziękuje za rozpisanie, również wyszło tak samo. ICSP dobra, wracając jeszcze do tego z wyznaczaniem raz x₁, a raz x₂ z równania x₁x₂=8. Naszym początkowym założeniem jest na pewno, że Δ>0, a to zachodzi wtedy, gdy m<−4√2 lub m>4√2. Załóżmy, że rozwiązaliśmy już te dwa równania, o których mówiłeś. I w tym momencie rozumiem, że po prostu konfrontujemy ich sumę (x₁+x₂=m) z warunkiem z deltą? Jakoś ciężej mi przychodzi zrozumienie tego po co tak naprawdę raz wyznaczamy jedno, a raz drugie..

ICSP: Masz do rozwiązania układ równań: x₁x₂ = 8 2x₁ + 3x₂ = 16 Jego rozwiązania: x₁ = 2 i x₂ = 4

	4
x1 =		i x2 = 6
	3

i odpowiadające im m m = 6

	22
m =
	3

konfrontujesz z warunkiem Δ > 0 ⇒ |m| > 4√2 Wcześniejsze wyznaczanie najpierw x₁ potem x₂ miało Ci tylko pokazać, że kolejność x₁ i x₂ ma znaczenie.

Szkolniak: Dobra, już to jest o wiele jaśniejsze. Mam jeszcze drugie podobne zadanie to zaraz się z nim spróbuję w ten sam sposób. Dzięki piękne za pomoc